瑕積分收斂或發散的問題

我的做法是先把不定積分做出來，

然後再分範圍(會使分母=0)看積分是否存在


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如只要證明收斂或發散, 不需那麼麻煩.

原積分需分4段: (0,a], [a,1), (1,b], [b,∞).
在其中任一段發散即是發散; 在4段均收斂才是收斂.
上列 a 是任取, 只要 0<1, 不影響結論;
b 也是任取, b>1 之任一實數.

Integrand 是 1/[x(x-1)^{1/3}].

在 (0,a], (x-1)^{1/3} = -(1-x)^{1/3} ≦ -(1-a)^{1/3} < 0.
故只需看 1/x 的積分是否收斂. 而 1/x 在 (0,a] 是發散的. Done.

2011-08-05 10:17:00 補充：
另外, 1/[x(x-1)^{1/3}] 在 [a,1) 的積分, 其斂散性同 1/(1-x)^{1/3} 的積分,
而這由定義式可證明是收斂的.

在 (1,b] 之積分, 同樣只需看 1/(x-1)^{1/3} 之積分, 而它也是收斂的.
方法同上.

至於在 [b,∞) 的積分, 與 1/(x-1)^{4/3} 之積分比較, 可得收斂之結論.

故原積分是有 answer 的, 那就是 1/[x(x-1)^{1/3}] 在 (0,a] 之積分結果,
答案應是 -∞.