二次多項次的積分與微分

1. ∫(－3 to －2)_1/[x(1+x)]dx
Sol
1/[x(1+x)]
=[(1+x)－x]/[x(1+x)]
=(1+x)/[x(1+x)]－x/[x(1+x)]
=1/x－1/(1+x)
∫(－3 to －2)_1/[x(1+x)]dx
= ∫(－3 to －2)_1/xdx-∫(－3 to －2)_1/(1+x)dx
=ln｜x｜｜(－3 to －2)-ln｜1+x｜｜(－3 to －2)
=(ln2－ln3)－(ln1－ln2)
=2ln2－ln3

2.
Sol
∫p(x)dx/[x^3(x+1)^2]為有理函數
p(x)/[x^3(x+1)^2]=a/x^3+b/x^2+c/(x+1)^2
p(x)=a(x+1)^2+bx(x+1)^2+cx^3
when x=－1
－2=c(－1)
c=2
p(x)=a(x+1)^2+bx(x+1)^2+2x^3
p(x)為2次式
b=－2
p(x)=a(x+1)^2－2(x^3+2x^2+x)+2x^3
=a(x^2+2x+1)－2(x^3+2x^2+x)+2x^3
=(a－4)x^2+(2a－2)x+a
p’(x)=2(a－4)x+(2a－2)
p’(－1)=－2(a－4)+(2a－2)=6

1. -2 -2 -2
=∫ 1/x(x+1) dx==∫ 1/x-1/(x+1) dx=lnlxl-lnl(x+1)l=ln2-ln1-ln3+ln2=2ln2-ln3
-3 -3 -3