問一題高一數學~~~

這題很明顯就是在考"勘根定理"。
所謂的勘根定理簡單說，就是X套入數字觀察f(x)的圖形變化!
而X整數相鄰的數字若使f(x)有正負變化，則在此相鄰的數字間便有實根!

所以
(x,f(x))
(-3,-11) (-2,5) (-1,9) (0,7) (1,5) (2,9)

以上觀察很明顯
如果x<3，f(x)都是負的，不可能會跳到正數!
如果x>2，f(x)都是正的，不可能會跳到負數!

因此發現在-3<x<-2這之間，讓這個數值從負跳到正，代表有1實根
但是三次式必有3個解，換句話說這函數有1實根2虛根!

所以
(O)(1)f(x)=0至少有一實根
(X)(2)f(x)=0在區間-1≦x≦1上有實根
(O)(3)f(x)=0的實根都大於-3
(O)(4)f(x)=0的實根都小於-2
(X)(5)f(x)=0有三個相異實根

A:1,3,4

2011-08-03 01:40:48 補充：
至於為什麼是正負交錯就會有解?
你可以這樣想像
y=f(x)=x^3-3x+7
y=0 (題目要求f(x)=0)
這兩條線要求解!

y=0就是X軸，換句話說就是要求f(x)與X軸的交點，而虛根是無法在圖形上表達出來的
既然要求交點，也就是說f(x)一定會穿越X軸，當你穿越X軸時，
在穿越的那個點我稱為x點，在x點左邊假設一個x1，右邊假設x2，
不管今天這個圖形是由左下右上穿越或是左上右下穿越，
x1所對應出來的f(x)值與x2所對應出來的f(x)，一定會正負相反
所謂f(x)值就是把x1、x2垂直線延伸到f(x)數線所對應出來的值!

<高一解法>

令x=-3,-2,-1,0,1,2,3 分別代入, 畫出的圖形可觀察有2 個轉折點, 且跟X軸只交於一點 => 只有一個實數根且在2<3, 另兩個為虛根


<高三解法> (微分)

0 = df(x)/dx = 3x^2 -3 => x = 1,-1 (有兩個極值, 就是有兩個轉折點)

f(-1) = 9 且f(1) = 5 , 均大於0 => 可作圖僅交X軸於一點(一實根),另兩根為虛根

且此實根比-1小, 用上法判斷可得!

ans:(1),(3),(4)

如果有學微積分

可看出遞增遞減

即可畫出概圖

2011-08-02 20:36:19 補充：
請問螞蟻雄兵大大

如何得知
x^3－3x+7
=(x^3+2.425922x^2)+(－2.425922x^2－5.8850975x)+(2.8850975x+7)

設f(x)=x^3－3x+7是一實係數多項式，請問下列敘述哪些正確？
(1)f(x)=0至少有一實根
(2)f(x)=0在區間－1<=x<=1上有實根
(3)f(x)=0的實根都大於－3
(4)f(x)=0的實根都小於－2
(5)f(x)=0有三個相異實根
Sol
x^3－3x+7
=(x^3+2.425922x^2)+(－2.425922x^2－5.8850975x)+(2.8850975x+7)
=(x^2－2.425922x+2.8850975)(x+2.425922)
2.425922^2-4*1*2.8850975<0
只有一實根－2.425922
(1)對
(2)錯
(3)對

2011-08-02 20:33:30 補充：
(1)對
(2)錯
(3)對
(4)對
(5)錯

設f(x)=x^3-3x+7是一實係數多項式，請問下列敘述哪些正確？
(1)f(x)=0至少有一實根
(2)f(x)=0在區間-1≦x≦1上有實根
(3)f(x)=0的實根都大於-3
(4)f(x)=0的實根都小於-2
(5)f(x)=0有三個相異實根(1)
f(-3)=-11
f(-2)=5
=>-2~-3至少有一實根(2)
f(-1)=9
f(0)=7
f(1)=5
無法確定在區間-1≦x≦1上有實根(3).(4)
-2~-3至少有一實根
且並無在其他範圍找到實根
因此都正確(5)
可能有共軛虛根
無法肯定有三個實根
.............(1),(3),(4)有誤請提醒
Thanks~

不是˙把數字帶進去就得解了?