數學知識交流---數字總和(1)

1. 若可含0, 則答案有無限多個 ,
例1111..11(19個1), 101111..11(19個1, 1個0), 1001111...11(2個0), ......
2. 不可含0 ,
設為k為位 x(1)x(2)...x(k), k = 3, 4, 5,..., 19
case 1: k=3,4,5,..., 10
x(1)+x(2)+...+x(k)= 19, 其中 x(1)~x(k)=1,2,3,..., 9,
設 y(1)=x(1)-1, y(2)=x(2)-1, ..., y(k)=x(k)-1, 則
y(1)+y(2)+...+y(k)= 19-k, 其中 y(1)~y(k)=0,1,2,...,8
共有H(k, 19-k) - C(k,1)H(k, 10-k)=C(18, k-1)- kC(9, k-1)組解, k=3,4,5,...,10
Note1: C(k,1)表y(1)~y(k)某一個 >= 9, 先取9個, 再分配其餘 19-k -9=10-k 個
case 2: k=11,12, ..., 19
x(1)+x(2)+...+x(k)= 19, 其中 x(1)~x(k)=1,2,3,...,9
則 y(1)+y(2)+....+y(k)= 19-k, 其中 y(i)=x(i)-1=0~8, i=1,2,3,...,k
共有 H(k, 19-k)=C(18, k-1)
由case1, case2, 知
所有位數總和為19的數,總數
= C(18,2)+...+C(18,9)- [3C(9,2)+4C(9,3)+...+10C(9,9)]+C(18,10)+...+C(18,18)
= C(18,2)+...+C(18,18) - [3C(9,2)+4C(9,3)+...+10C(9,9)]
= 2^18- C(18,0)-C(18,1)-[ 2^9 + 9* 2^8 - C(9,0) - 2C(9,1)] (Note2)
= 2^18 - 2^9 - 9* 2^8
= 2^8 ( 2^10 - 2 - 9)
= 259328
Ans: 不可含0時, 各位數總和為19之數,共 259328個

Note2:
x (x+1)^9= C(9,0)x+C(9,1)x^2+C(9,2)x^3+...+C(9,9)x^10
(d/dx)[x(x+1)^9 ]=(x+1)^9+ 9x(x+1)^8=C(9,0)+ 2C(9,1)x+...+10C(9,9)
sub. x=1, then
2^9 + 9*2^8 = C(9,0)+2C(9,1)+3C(9,2)+4C(9,3)+...+10C(9,9)

三位數中有：
199,
298, 289,
397, 388, 379,
496, 487, 478, 469,
595, 586, 577, 568, 559,
694, 685, 676, 667, 658, 649,
793, 784, 775, 766, 757, 748, 739,
892, 883, 874, 865, 856, 847, 838, 829,
991, 982, 973, 964, 955, 946, 937, 928,919

基本為無限個 如果"0"1數字是可接納的話