關於gama函數裡面有微積分帶值問題

1.


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AA00001423/o/161107300745113872572890.jpg


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3.
這題恕小弟才疏學淺
我不會解
可能要請閣下親自到維基或其他地方查資料


2011-08-03 22:06:54 補充：
L'Hospital Rule(羅必達法則)：
當x趨近於某個值a(a可以為正負無窮大)
若f(x)及g(x)同時趨近於0或同時趨近於無窮大，且f(x)及g(x)的導函數(微分)存在時
f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)

抱歉，補充資料無法放圖

2. Γ(1) = ∫_[0,∞)e^{-t}dt = lim_{b→∞}∫_[0,b] e^{-t} dt
= lim_{b→∞} [-e^{-t}]_[0,b] = lim_{b→∞}[-e^{-b}+e^{-0}]
= lim_{b→∞}(-e^{-b}+1) = 1


1. Γ(v+1) = ∫_[0,∞) t^v e^{-t} dt
= lim_{b→∞} [-t^v e^{-t}]_[0,b] + ∫_[0,∞) vt^{v-1}e^{-t} dt
v>0 ==> 0 代入 t^v e^{-t} 得 0,
又 lim_{b→∞} b^v e^{-b} = 0, 無論 b 是多少.
故得 Γ(v+1) = v*Γ(v).



3. Γ(1/2) = ∫_[0,∞) t^{-1/2} e^{-t} dt = 2∫_[0,∞) e^{-u^2} du
令 I = ∫_[0,∞) e^{-u^2} du
則
I^2 = ∫_[0,∞) e^{-u^2} du ∫_[0,∞) e^{-v^2} dv
= ∫∫ e^{-u^2-v^2}dudv
做極座標變換, 得 I^2 = π/4, 即 I = √π/2.
故得 Γ(1/2) = √π.



2011-07-31 09:28:02 補充：
1. 之解中
" 又 lim_{b→∞} b^v e^{-b} = 0, 無論 b 是多少."
應更正為 "
又 lim_{b→∞} b^v e^{-b} = 0, 無論 v 是多少." (一個明顯的手誤.)

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