不定方程1/x+1/y+1/z=4/5

為便於求解，先令x＜y＜z則1/x>1/y>1/z3/x>1/x+1/y+1/z=4/5,則x≦3，且1/x<4/5,x≧2，∴2≦x≦3當x=21/y + 1/z =(y+z)/yz=4/5-1/2=3/10同理2/y>3/10∴y≦61/y<3/10 ∴y≧4，4≦y≦6(y+z)/yz=3/10，3yz=10(y+z)，yz含因數5，因z的範圍大，設z=5k,K為自然數15yk=10(y+5k)則(3k-2)y=10k, 3k-2或y含因數5若y=5,k=2 ，z=10, (2,5,10)為解若k= 1，z =5,y=10(與4≦y≦6不符)若k=4，z=20,y=4，(2,4,20) 為解若k= 9，z =45,y=18/5(非整數，不符)當x=31/y + 1/z =(y+z)/yz=4/5-1/3=7/15同理2/y>7/15∴y≦41/y<7/15, ∴y≧3，又x=3 ∴y=4 ，z=60/13(非整數，不符) 所以只有(2,5,10),(2,4,20)二組解。但因題目沒有限定x,y,z的大小，因此以上二組解分別作排列，各產生6組解，總共12組解，（x,y,z）分別為(2,5,10),(2,10,5),(5,2,10),(5,10,2),10,2,5),(10,5,2),(2,4,20),(2,20,4),(4,2,20),(4,20,2),(20,2,4),(20,4,2)解題技巧在計算過程標黃色的地方，可以參考。

高手高手高高手!!!

2011-07-24 11:04:32 補充：
我當初只用出y>=4，就倒了。哈哈﹗

02 03兩位 大大寫的很完整

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AF03256679/o/161107230452313872532960.jpg

請參考，圖不清楚請下載至電腦
如有計算上的錯誤也請提出

2011-07-23 18:29:53 補充：
如同3樓所說的，不考慮順序有12組

設 x < = y < = z, 共有2組解

因为x，y，z相互等价，所以这里只给出一组结果：
2、6、6；
2、4、12；
3、3、6；
3、4、4；
我基本上是用的枚举法，但这有一个规律，即固定x之后，y取值越大，则z取值必然相对减小，且x的取值最终也会与y、z的取值出现重复，因此总可以取遍所有的值。