試找出並詳細證明以下的瑕積分的收歛區間：
1. ∫(c to ∞) sinh vt sin (x sinh t) dt
2. ∫(c to ∞) cosh vt sin (x sinh t) dt
3. ∫(c to ∞) sinh vt cos (x sinh t) dt
4. ∫(c to ∞) cosh vt cos (x sinh t) dt
5. ∫(c to ∞) sinh vt sin (x cosh t) dt
6. ∫(c to ∞) cosh vt sin (x cosh t) dt
7. ∫(c to ∞) sinh vt cos (x cosh t) dt
8. ∫(c to ∞) cosh vt cos (x cosh t) dt
其中v、c、x為實數且v、x ≠ 0
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_376.htm似乎暗示出第1題和第4題的答案是|v| < 1（只有描述但沒有證明），對於第5題和第8題則更糟，就算是http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_360.htm也沒有暗示。因此這8題都令我摸不著頭腦。
類週期函數的瑕積分的題目2
2011-07-21 4:15 pm
回答 (2)
2011-07-29 5:22 am
✔ 最佳答案
題目中常數c, v, x無論v, x如何，|c|<∞ -> |sinh(vc)sin(x*sinh(c))|<∞
因此c與收斂區間無關
又|sin(x)|<∞對所有x屬於R
所以x也和收斂區間無關，剩下v與收斂區間有關
以sinh(vt)sin(x*sinh(t))為例，令s=e^t
則ds/s=dt, sinh(vt)=[e^(vt)-e^(-vt)]/2=[s^v-s^(-v)]/2
∫(c to ∞) sinh(vt)sin(x*sinh(t)) dt
=(1/2)∫(e^c to ∞) [s^v-s^(-v)]sin(x[s-(1/s)]/2) ds/s
=(1/2)∫(e^c to ∞) [s^(v-1)-s^(-v-1)]sin(x[s-(1/s)]/2) ds
想知道s^(v-1)sin(x[s-(1/s)]/2)在時的行為
於是拿s^(v-1)sin(x*s/2)去逼近它
∫(e^c to ∞) s^(v-1)sin(x*s/2) ds
=[-(2/x)s^(v-1)cos(x*s/2) | (e^c to ∞)]+∫(e^c to ∞) (2/x)(v-1)s^(v-2)cos(s*x/2) ds
若v-1<0則前面那項即為(2/x)e^[c(v-1)]cos(x*e^c/2)<∞
同理後面那項積分也收斂
因此s的指數小於0能造成題目積分收斂
v-1<0且-v-1<0得|v|<1(v=0根據題目不在考慮範圍)
其他7題與之比較只有e^(-vt), e^(-t)正負與sin/cos差別
而這種差別不影響積分收斂的條件
因此8種情形收斂區間皆為|v|<1
希望以上回答有幫助到您!
2011-07-30 11:48:17 補充：
回意見002版大
在下想法是，當s夠大時
1/s可以被省略，就算c沒有到無限，我們只關心無限遠處
2011-07-30 6:59 pm
多謝你提供一個這樣好的辦法。
但是為甚麼sin/cos (s + 1/s)和sin/cos (s - 1/s)可以變成sin/cos s來看？
但是為甚麼sin/cos (s + 1/s)和sin/cos (s - 1/s)可以變成sin/cos s來看？
收錄日期: 2021-04-21 12:35:21
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https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110721000015KK01822