數學知識交流(44) --- 長方體

首先，考慮可能的長方體:
- 1 x 1 x 40 .... (1)
- 1 x 2 x 20 .... (2)
- 1 x 4 x 10 .... (3)
- 1 x 5 x 8 ..... (4)
- 2 x 1 x 20 .... (重1)
- 2 x 2 x 10 .... (5)
- 2 x 4 x 5 ..... (6)
- 4 x 1 x 10 .... (重3)
- 4 x 2 x 5 ..... (重6)
- 5 x 1 x 8 ..... (重4)
- 5 x 2 x 4 ..... (重6)
總共有6個方法。
因為不是很多，所以其中一個辦法就是列表，
即每個情況都數一次面數和粒數，最後再比較。
但這樣粗暴的方法，亦失去了數學探索的樂趣。
因此呢，以下方法會是嘗試分析並找出一定的規律。
.
為了方便最後的結論，現在先作以下定義：
自定定義一： 2 x 4 x 5 分別稱為「深」、「闊」、和「長」。
自定定義一： 1 x 1 x N 稱為「瘦長」、
在形狀不重覆的前題下，最大深之中最大闊的情況稱為「粗肥」。
.
首先從最簡單的情況開始想。
1) 在只有一粒時，是可以看到三面，稱此為「前」。
4) 在有四粒時，1x1x4的情況下，有一粒為「前」，
...另外有三粒可以看到兩面，稱之為「邊」。
...面數 = 3 + 2 x 3(邊) = 9
...1x2x2時，有一前、二邊，剩下一粒只看到一面，稱之為「後」。
...面數 = 3 + 2 x 2(邊) + 1 x 1(後) = 8
...由此可得出，前數必為1
..,邊數似乎為(闊+長-2)。
...後數似乎為 (闊-1)x(長-1)。
12) 在有十二粒時，
...1x1x12有 3 + 2 x 11 = 25面。
...1x2x6 有 3 + 2 x (2+6-2) + 1 x (1x5) = 20面
...2x2x3 有 1前, 1+1+2邊, 2+1+1後。
...面數共有 3 + 2 x (1+1+2) + 1 x (1+1+2) = 15面
...原來邊數應為 (深-1)+(闊-1)+(長-1)
...而後數應為 (深-1)x(闊-1)+(闊-1)x(長-1)+(長-1)x(深-1)
...另外，這次有兩粒被「遮」住了。
...遮數為 (深-1)x(闊-1)x(長-1)
.
歸納一下，便會得出以下原則:
(i). 只要深為 1 ，便是最多粒;
(ii) 最多面的，必定是瘦長，因為全為前和邊;
(iii)反之，後和遮多的話，面和粒便會少;而粗肥時，後和遮便會最多。
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回應題目所問，將以上原則套進粒數是40的情況，得出：
- 粒最多是在(1),(2),(3)或(4)時, 數量是 40
- 面最多是在(1)時, 數量是
-- 3 + 2 x 39 = 81
- 面最少和粒最少是在(6)時，
-- 面數是 3 + 2 x (1+3+4) + 1 x (1x3 + 3x4 + 4x1) = 38
-- 粒數是 全 - 遮 = 40 - 1x3x4 = 28

1b. 2x4x5 ???

1)

要使從一個角度看到的正方形面的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？

1×1×40

要使從一個角度看到的正方形面的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？

1×1×40

2)

要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？

1×1×40

要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？

1×1×40