Surface Integrals 2

x^2+y^2=2x 改為極坐標 r=2cosθ, θ=0~π
x^2+y^2+z^2=4, z>=0 parametrized as R=(rcosθ, rsinθ, √(4-r^2) )
dA=|∂R/∂r x ∂R/∂θ| dr dθ = 2r/√(4-r^2) dr dθ
Area=2∫[0~π/2]∫[0~ 2cosθ] 2r/√(4-r^2) dr dθ
= 8∫[0~π/2] (1-sinθ) dθ
=4π - 8

2011-07-23 18:07:03 補充：
請注意Area=2∫[0~π/2]∫[0~ 2cosθ] 2r/√(4-r^2) dr dθ, 積分外面的2倍
原本積分是θ=0~π沒錯,但考量其對稱性,故改為θ=0~π/2
(以免dA變為負值)

2011-07-23 18:43:27 補充：
或考改為Area=∫[-π/2~π/2]∫[0~ 2cosθ] 2r/√(4-r^2) dr dθ亦可,
就是不能用Area=∫[0~π]∫[0~ 2cosθ] 2r/√(4-r^2) dr dθ
而應是Area=∫[0~π]∫[0~ 2cosθ] 2|r|/√(4-r^2) dr dθ