數學知識交流

(1) 問在 1 至 10000 之間有多少個除以 13 餘 5，除以 23 餘 19 的自然數？
解：13m + 5 = 23n + 19
13m = 23n + 14
13m = 14 (mod 23) --(1)
23m = 0 (mod 23) ---(2)
(1)×2 - (2)，得：
3m = 28 (mod 23)
3m = 5 (mod 23) ----(3)
(3)×8 - (2)，得：
m = 40 (mod 23)
m = 17 (mod 23)
所以m的值為17+23k，而該自然數的值為
13 × (17+23k) + 5 = 226 + 299k ( k ≥ 0 )
現要使 226 + 299k ≤ 10000
所以k可以是0至32(包括0和32)的整數。
所以1-10000之間有33個除以 13 餘 5，除以 23 餘 19 的自然數。

(2) 問在 1 至 10000 之間有多少個平方數，但不是立方數的自然數？
解：
1-10000之間的平方數有：1²至100²，共100個。
1-10000之間既是平方數又是立方數的，即是6次方數，共有：1^6 至 4^6 (=4096)，共4個。
所以1-10000之間是平方數而不是立方數的自然數共有：
100 - 4 = 96(個)

(3) 問在 1 至 10000 之間有多少個質數？
解：共1229個。
它們是：


2011-07-19 18:55:20 補充：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283,

2011-07-19 18:55:48 補充：
........................, 9689, 9697, 9719, 9721, 9733, 9739, 9743, 9749, 9767, 9769, 9781, 9787, 9791, 9803, 9811, 9817, 9829, 9833, 9839, 9851, 9857, 9859, 9871, 9883, 9887, 9901, 9907, 9923, 9929, 9931, 9941, 9949, 9967, 9973

2011-07-19 19:05:43 補充：
第一題另一做法：
(1) 問在1 至10000 之間有多少個除以 13 餘 5，除以 23 餘 19 的自然數？
解：13m + 5 = 23n + 19
23n = 13m - 14
23n = -14 (mod 13) --(1)
13n = 0 (mod 13) -----(2)
(2)×2 - (1)，得：
3n = 14 (mod 13)
3n = 1 (mod 13) -------(3)
(2) - (3)×4，得：
n = -4 (mod 13)
n = 9 (mod 13)

2011-07-19 19:06:53 補充：
所以n的值為9+13k，而該自然數的值為
23 × (9+13k) + 19 = 226 + 299k ( k ≥ 0 )
後同。

2011-07-19 19:16:55 補充：
所以k是0至32(包括0和32)的整數。
所以1-10000之間有33個除以13 餘 5，除以 23 餘19 的自然數。

To 001 :

k可以是0至32(包括0和32)的整數。

包括負數?