指數運算 4^30 - 2^50 除以5 求餘數

4^30 - 2^50

=(5-1)^30-(5-3)^50

根據二項式定理

展開式中除了

(-1)^30-(-3)^50之外,其他項均為5的倍數

而3的次方除以5的餘數

成3,4,2,1,3,4,2,1,3,4,2,1,-----的循環

所以,3^50除以5餘數為 4

(-1)^30-(-3)^50

=1-4 =-3

-3+5=2

得到, 4^30 - 2^50 除以5 的餘數 為2

留意: 4^30 - 2^50 = 4^30 - 4^25
4^30 = (-1)^30 = 1 (mod 5)
4^25 = (-1)^25 = -1 (mod 5)
=> 4^30 - 2^50 = 4^30 - 4^25 = 1 - (-1) = 2 (mod 5)

4^30
=(4^2)^15
=16^15
除以5餘數為1

2^50
=(2^4)^12*2^2
=16^12*4
除以5餘數為4

1-4=-3
-3=5*(-1)+2

餘數為2

用同餘的比較漂亮

應該貼在答案而非意見,讓不肖之人貼於答案

指數運算 4^30－2^50 除以5 求餘數
Sol
4^30－2^50
=>(4－5)^30－(2^5)^10
=>(－1)^30－32^10
=>1－(5*6+2)^10
=>1－2^10
=>1－(2^5)^2
=>1－(5*6+2)^2
=>1－2^2
=>－3
=>－3+5
=>2

4^30-2^50=2^60-2^50=2^10*2^50-2^50
=(2^10-1)2^50
2^1個位數2
2^2個位數4
2^3個位數8
2^4個位數6
2^5個位數2
由此可知2的指數各為數是4個一循環
10/4=2.....2
個位數為4
2^10的個位數4
50/4=12....2
2^50 個位數4
(4-1)4=12
(2^10-1)2^50的各位數為2
2/5=0....2
餘數為5

2011-07-17 15:50:03 補充：
餘數為2(手誤)