部份分式解法觀念和技巧

事實上

設 (3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]=(Ax+B)/(x－2)^2+C/(1－2x)

所以,3x^2+x-2=(Ax+B)(1-2x)+C(x-2)^2-----------(1)

也是可以算

x=1/2, 代入得到

-3/4=(9/4)*C

C=-1/3

代入(1), 得到

9x^2+3x-6=(Ax+B)(3-6x)-x^2+4x-4

10x^2-x-2=3(Ax+B)(1-2x)

-5-2x=3(Ax+B)

所以, A=-5/3, B=-2/3

(3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]=( (-5/3 )x+ (-2/3 ))/(x－2)^2+ (-1/3 )/(1－2x)

也是化成部分分式

只是和

設 (3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]=A/(x－2)^2+B/(x－2)+C/(1－2x)

的型式不同

A和B所代表的數字也就不同

此A和B和彼A和B不同

一般為了做微積分中的不定積分

比較喜歡設成

(3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]=A/(x－2)^2+B/(x－2)+C/(1－2x)

得到

∫(3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]dx= ∫A/(x－2)^2dx+ ∫B/(x－2)dx+ ∫C/

(1－2x)dx




2011-07-17 23:06:09 補充：
更正

-5-2x=3(Ax+B)

應該是-5x-2=3(Ax+B)

2011-07-17 23:06:15 補充：
補充

設 (3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]=A/(x－2)^2+B/(x－2)+C/(1－2x)

所以,3x^2+x-2=(A)(1-2x)+B(x-2)(1-2x)+C(x-2)^2-----------(1)


x=1/2, 代入得到

-3/4=(9/4)*C

C=-1/3

代入(1), 得到

9x^2+3x-6==3A(1-2x)+3B(x-2)(1-2x)-x^2+4x-4


10x^2-x-2==3A(1-2x)+3B(x-2)(1-2x)

-5x-2=3A+3B(x-2)=3Bx+3A-6B

B=-5/3

A=-4

2011-07-17 23:06:33 補充：
補充

設 (3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]=A/(x－2)^2+B/(x－2)+C/(1－2x)

所以,3x^2+x-2=(A)(1-2x)+B(x-2)(1-2x)+C(x-2)^2-----------(1)


x=1/2, 代入得到

-3/4=(9/4)*C

C=-1/3

代入(1), 得到

9x^2+3x-6==3A(1-2x)+3B(x-2)(1-2x)-x^2+4x-4


10x^2-x-2==3A(1-2x)+3B(x-2)(1-2x)

-5x-2=3A+3B(x-2)=3Bx+3A-6B

B=-5/3

A=-4

2011-07-19 06:07:47 補充：
因為我們希望

部分分式的分子愈簡單愈好

最好都只是數字

所以,設成


(3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)]=A/(x－2)^2+B/(x－2)+C/(1－2x)

請問為什麼不是設(Ax+B)/(x－2)^2+C/(1－2x)


[R]
其實你想的是對的, 的確可分解成 (Ax+B)/(x－2)^2+C/(1－2x).

但要計算∫(Ax+B)/(x－2)^2 dx 時, 顯然要把 (Ax+B)/(x－2)^2 再化成
[A(x-2)+(2A+B)]/(x-2)^2, 即 A/(x-2) + (2A+B)/(x-2)^2.

因此, 一開始就可把 (3x^2+x－2)/[(x－2)^2(1－2x)] 表示成
A*/(x-2)^2 + B*/(x-2) + C/(1-2x).