級數和公式問題

一般平方和的公式為：
1平方+2平方+3平方+4平方+5平方+…+n平方 =n(n+1)(2n+1)/6

若是奇數的平方和，例如：

1平方+3平方+5平方+7平方+9平方+…+(2n-1)平方 ＝？

解答:2^2+4^2+6^2+------+(2n-2)^2

=4*[1^2+2^2+-----+(n-1)^2]

=4*(1/6)*(n-1)(n)(2n-1)

所以

1^2+3^2+5^2+-----+(2n-1)^2

=[1^2+2^2+3^2+----+(2n-1)^2]-[2^2+4^2+6^2+------+(2n-2)^2]

=(1/6)(2n-1)(2n)(4n-1)-4*(1/6)*(n-1)(n)(2n-1)

=(1/6)[(2n-1)(2n)(4n-1)-4*(n-1)(n)(2n-1)]

=(1/6)(n)(2n-1)[8n-2-4n+4]

=(1/3)(n)(2n-1)(2n+1)

1^2+3^2+5^2+----+15^2, n=8代入

=(1/3)(8)(15)(17)

=680

補充:

1^2+2^2+3^2+-----+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]/6

證明:數學歸納法

(1)當n=1時,1^2=[1*2*3]/6 成立

(2)令n=k時成立,即

1^2+2^2+3^2+-----+k^2=[k*(k+1)*(2k+1)]/6

(3)當n=k+1時

1^2+2^2+3^2+-----+k^2+(k+1)^2

=[k*(k+1)*(2k+1)]/6 +(k+1)^2

=[(k+1)*(2k^2+k+6k+6)]/6

=[(k+1)*(k+2)*(2k+3)]/6

={(k+1)*(k+2)*[2(k+1)+1]}/6

故n=k+1時成立

由數學歸納法得証

級數1^2+3^2+5^2+7^2+........15^2，其數字和為?(有無其依循公式)
Sol
1^2+3^2+5^2+…+(2n－1)^2
=Σ(k=1 to n)_(2k－1)^2
=Σ(k=1 to n)_(4k^2－4k+1)
=4Σ(k=1 to n)_k^2－4Σ(k=1 to n)_k+Σ(k=1 to n)_1
=4*n(n+1)(2n+1)/6－4*n(n+1)/2+n
=(n/6)*[4(n+1)(2n+1)－12(n+1)+6]
=(n/6)*[4(2n^2+3n+1)－12(n+1)+6]
=(n/6)*(8n^2－2)
=n(4n^2－1)/3
=n(2n－1)(2n+1)/3
So
1^2+3^2+5^2+7^2+........15^2
=8*(2*8－1)*(2*8+1)/3
=680