數學 平面幾何 證明

1.
圖中點I應為點T (a)(i)
因為 PQ=SQ,所以 角QPS=角QSP
在三角形PQS,
角PQS+角QPS+角PSQ=180度
100度+角QPS+角QPS=180度
2*角QPS=80度
角QPS=40度
角QPU+角UPS=40度
因為 角QPU=角UPS,
所以 角QPU+角QPU=40度
2*角QPU=40度
角QPU=20度 在三角形PQU,
角PQU+角QPU+角QUP=180度
100度+20度+角QUP=180度
角QUP=60度(a)(ii)
角PQU+角QPU=角PUS
100度+20度=角PUT+角SUT
因為角PUT=角SUT,
所以,120度=2*角PUT
角PUT=60度 (1)角PUQ=角PUT=60度
(2)角QPU=角TPU=20度
(3)PU=PU三角形PQU與三角形PTU相等 (A.S.A)(b)(i)
由於三角形PQU與三角形PTU相等,
所以 QU=TU (1)
因為QU=RU,
所以 TU=QU=RU
(2)US=US
(3)
角PUT+角TUS+角RUS=180度
60度+60度+角RUS=180度
角RUS=60度
所以,角TUS=角RUS=60度三角形TUS與三角形RUS相等 (S.A.S.)(b)(ii)
角STU=角TPU+角PUT=20度+60度=80度 因為三角形TUS與三角形RUS相等,
角SRU=角STU=80度在三角形PRS,
角PRS+角PSR+角RPS=180度
角SRU+角PSR+20度=180度
80度+角PSR+20度=180度
角PSR=80度因為角PSR=80度=角SRU=角PRS,
所以 PR=PSPU+QU
=PU+RU (因為QU=RU)
=PR
=PS2.
如果角DAB為78度, 由於ABCD是菱形,
AB與DC平行, AD與BC平行
及 AB=BC=CD=AD 因為AD與BC平行,
角CBE=角DAE=78度因為BC=EC,
角CEB=角CBE=78度在三角形CBE,
角BCE+角CEB+角CBE=180度
角BCE+78度+78度=180度
角BCE=24度因為CE=CB=CD,
角CED=角CDE角BCD=角BAD=78度在三角形CDE,
角CED+角CDE+角DCE=180度
角CED+角CED+(角DCB+角BCE)=180度
2*角CED+78度+24度=180度
2*角CED=78度
角CED=39度如果角DAB為76度, 由於ABCD是菱形,
AB與DC平行, AD與BC平行
及 AB=BC=CD=AD 因為AD與BC平行,
角CBE=角DAE=76度因為BC=EC,
角CEB=角CBE=76度在三角形CBE,
角BCE+角CEB+角CBE=180度
角BCE+76度+76度=180度
角BCE=28度因為CE=CB=CD,
角CED=角CDE角BCD=角BAD=76度在三角形CDE,
角CED+角CDE+角DCE=180度
角CED+角CED+(角DCB+角BCE)=180度
2*角CED+76度+28度=180度
2*角CED=76度
角CED=38度3.
(1)AD=AB (正方形的邊)
(2)
角ABF+角ABC=180度
角ABF+90度=180度 (正方形的內角=90度)
角ABF=90度
所以,角ADE=角ABF
(3)
角DAE+角BAE=角BAD
角DAE+角BAE=90度
角DAE=90度-角BAE 角BAF+角BAE=90度
角BAF=90度-角BAE所以,角DAE=角BAF三角形ADE與三角形ABF相等 (A.S.A.)所以,AE=AF