平面幾何 證明

1.
角ACB+角ACE+角DCE=180度
角ACB+90度+角DCE=180度
角ACB+角DCE=90度
角ACB=90度-角DCE 在三角形CDE,
角CDE+角DCE+角CED=180度
90度+角DCE+角CED=180度
角DCE+角CED=90度
角CED=90度-角DCE
同時,角DCE=90度-角CED在三角形ABC,
角ABC+角ACB+角BAC=180度
90度+角ACB+角BAC=180度
角ACB+角BAC=90度
角BAC=90度-角ACB所以,
(1)角ACB=角CED
(2)角ABC=角CDE=90度
(3)角BAC=90度-角ACB=90度-角CED=角DCE三角形ABC與三角形CDE相似 (A.A.A.)2.
設直線AC與其他兩條直線的相交點為E. 由於三角形BCE和三角形ACD都是等邊三角形,
它們各自的3個內角均為60度所以,
(1)角ACB=角DCE=60度
(2)AC=DC (等邊三角形的邊)
(3)BC=EC (等邊三角形的邊)三角形ABC與三角形DEC相等 (S.A.S)3.
由於AD與EG平衡,
可推論出三角形BEG與三角形BAC相似 (A.A.A.)
及三角形EFG與三角形DFC相似 (A.A.A) 所以,
AB/EB=AC/EG
(AE+EB)/EB=AC/EG (因為三角形BEG與三角形BAC相似)
AE/EB+1=AC/EG EG/DC=EF/FD=EF:FD=2:3=2/3 (因為三角形EFG與三角形DFC相似)
EG=(2/3)*DC因為AC:CD=2:1,
所以,AC=2*CDAE/EB+1=AC/EG
AE/EB+1=AC/[(2/3)*DC]
AE/EB+1=AC/[(1/3)*2*CD]
AE/EB+1=AC/[(1/3)*AC]
AE/EB+1=3
AE/EB=2
AE:EB=2:1