圓X^2+Y^2=2 證明這個圓上有無數個有理點

x² + y² = 2 明顯(1 , 1) 為圓上的一個有理點。x² + y² = 1² + 1² (x + 1) (x - 1) = - (y + 1) (y - 1) .....(1)令 x + 1 = k (y + 1) ,則 (x - 1) = - (1/k) (y - 1) .....(2)代 (2) 入(1) :( 2 - (1/k) (y - 1) ) ( - (1/k) (y - 1) ) = - (y + 1) (y - 1)( 2k - (y - 1) ) = k² (y + 1)2k + 1 = (k² + 1)y + k² y = (- k² + 2k + 1) / (k² + 1) 代回 (2) :x = 1 - (1/k) ( (- k² + 2k + 1) / (k² + 1) - 1 )
x = 1 - (1/k) ( (- 2k² + 2k) / (k² + 1) )
x = 1 - (- 2k + 2) / (k² + 1)
x = (k² + 2k - 1) / (k² + 1) 故 (x , y) = ( (k² + 2k - 1) / (k² + 1) , (- k² + 2k + 1) / (k² + 1) )
為這個圓上的有理點。當參數 k 取 k ≠ 0 的任意有理數時 , 可得異於(1 , 1) 的有理點在此圓上 ,所以圓 x² + y² = 2 上的有理點是無窮的。

2011-07-14 20:20:10 補充：
當參數 k 取 k ≠ 1 的任意有理數時 , 可得異於(1 , 1) 的有理點在此圓上...