高微要怎麼證明在0這點連續的問題

由 f(ax)=bf(x) for all real x 可知 f(0)=bf(0) 故得 f(0)=0.

設 f(x) 在 x=0 不連續, 則存在 x_n→0, x_n≠0 for all n,
使 f(x_n) 不收斂至 0.

因 f(x) 有界, 故 {f(x_n)} 有一子列收斂.
不失一般性, 可直接假設 {f(x_n)} 收斂.

設 lim f(x_n) = L ≠ 0.

不妨假設 L>0 (假設 L<0 也可以.)
則: for sufficient large n, f(x_n) > L/2 > 0.
令 y = x_N, 使 f(y)>0.
則 f(a^n y) = b^n f(y) ↑ ∞, 與 f 有界之條件矛盾.

矛盾的源頭是假設 f(x) 在 x=0 不連續.

故: f(x) 在 x=0 連續.

2011-07-15 17:16:31 補充：
以上證明有瑕疵.

設 f(x) 在 x=0 不連續, 則
存在 ε*>0, 存在 x_n→0, x_n≠0 for all n, 使 |f(x_n)| ≧ ε*.

由上面證明, 不妨假設 f(x_n) 收斂.
則 lim f(x_n) ≧ε* 或 ≦ -ε*.

由此推得 f(x) 無界, 與題目假設 f(x) 有界矛盾.

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不知道對不對。PF:因為f(x) bdd ，所以 存在M>0|f(x)|<M forall -1<=x<=1。對於 e >0，存在 positive integer N，M/b^N<e, { for b>1}取 d =1/a^N. 當|x | < d 時，|a^N*x| < 1,所以 |f(a^N*x)| <M,而 f(a^N*x)=b^N*f(x)=> | b^N*f(x)|=|f(a^N*x)| <M=> |f(x)|<M/b^N<e所以 f(x) 在x=0 點 連續。[[DONE]]好像 a不需 > 1，只要a >0 就可以。