數學知識交流---分數問題(1)

(1) x、y 皆為正整數， x/y - y/x = 12209/44100 ，求 (x+y) 的最小值。
解： x/y - y/x = 12209/44100
(x² - y²) / xy = 12209/44100
x² - y² = 12209n, xy = 44100n
當n=1時x, y有最小值，故
(x+y)(x-y) = 12209, xy = 44100
12209 = 29 × 421
29和421奇偶性相同，故
x + y = 421, x - y = 29
解得x = 225, y = 196
而xy = 225 × 196 = 44100, 符合
所以x + y的最小值為225+196 = 421.

(2) 一分數 ( 分子分母不為零 ) 的倒數和該分數的平方的差為零，求該分數的數值。
解：設該分數為a/b.
b/a = a²/b²
a³ = b³
a = b
所以a/b = 1，即該分數的值為1。

(3) x > 0 、 y > 0 、 x/y + 2y/x = 3x/y 、求 y/x 。
解：x/y + 2y/x = 3x/y
設x/y = a
a + 2/a = 3a
a² + 2 = 3a²
2a² = 2
a² = 1
a = 1 或 -1 (不合)
故x/y = 1, y/x = 1.

(4) 1/2 + 1/3 + 1/4 + x = 1/5 ，求 x 。
解：1/2 + 1/3 + 1/4 + x = 1/5
(1/2 + 1/4) + x = 1/5 - 1/3
3/4 + x = -2/15
x = -53/60