~~概率趣味題~~

這題最困難的地方就是男與男及女與女之間可以容許同月同日生日，因此絕對不像http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%94%9F%E6%97%A5%E5%95%8F%E9%A1%8C#.E6.A6.82.E7.8E.87.E4.BC.B0.E8.AE.A1般簡單。

2011-07-19 08:47:43 補充：

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/crazybirthday/birthdayprobability9.jpg

參考資料：
my wisdom of maths + integer calculations by http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/algebra/factor.en + formula from http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind + http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html + compare with http://www.efgh.com/math/birthday.htm

2011-07-19 10:03:35 補充：
自由自在的概念全錯，因為光是N > 365這個checkpoint他已經不能過關。

2011-07-19 16:36:42 補充：
唯有用wolfram alpha計算吧！

P(12)的值：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+StirlingS2%2812%2CK%29364%21%2F%28365%5E11%28365-K%29%21%29%281-%28%28365-K%29%2F365%29%5E12%29%2CK%3D1+to+12

只是0.3262......，看來真是比不分男女者的1 - 365!/(365²ⁿ(365 - 2n)!)的增長慢很多。

2011-07-19 16:40:20 補充：
P(20)的值：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+StirlingS2%2820%2CK%29364%21%2F%28365%5E19%28365-K%29%21%29%281-%28%28365-K%29%2F365%29%5E20%29%2CK%3D1+to+20

0.6660......，過龍了！

2011-07-19 16:43:29 補充：
P(15)的值：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+StirlingS2%2815%2CK%29364%21%2F%28365%5E14%28365-K%29%21%29%281-%28%28365-K%29%2F365%29%5E15%29%2CK%3D1+to+15

0.4604......，差不多了！

2011-07-19 16:46:20 補充：
P(16)的值：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+StirlingS2%2816%2CK%29364%21%2F%28365%5E15%28365-K%29%21%29%281-%28%28365-K%29%2F365%29%5E16%29%2CK%3D1+to+16

0.5044......

因此這題的N最少值為16。

2011-07-19 17:12:47 補充：
注意P(N)是永不封頂的，原因很簡單，因為只要其中一性方出不齊365個生日日期，另一性方仍可找到完全與該性方不同的生日日期的個案。

2011-07-19 23:03:22 補充：
怎會遺漏？請看清楚http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html#eqn18。

2011-07-20 16:20:01 補充：
怎會沒有分別呢？

「概念上準確」始終是「概念上準確」，「概念上近似」始終是「概念上近似」，學問與我的做法是「概念上準確」，自由自在的做法頂能是「概念上近似」。

用「概念上近似」的做法始於是很大的風險，好像這題，因為只要例如把1/2改為0.5045，學問與我便會推出N最少為17，但自由自在仍會推出N最少為16，那麼自由自在的做法便會泡湯。

今次只是幸運地題目所要求的下界沒有踏入「概念上準確的結果」與「概念上近似的結果」之間，並不代表次次都是這樣的幸運，因此我們不應該抱著僥倖的心態拿到「概念上近似的結果」便立刻收貨。

2011-07-20 16:48:52 補充：
更何況，數學是應該著重邏輯而不是著重數值，其實這題不要求概率的通解而要求甚麼N值會符合某些甚麼條件的出法已經在數學本身的精神上是有少許扭曲，而且在論數學的發展方面這類的題目確實會吸引不少投機分子乘機向數學「抽水」。

一個數學分析者的應有精神是「死守準確的結果」，因此我一向都是死守準確的結果，只是由於解那條不等式過於困難，我才有充分的理由無奈地向數值解讓步，為的不是想與數學界的「抽水分子」為伍，為數學的健康發展做好自己。

另外當N相對365為小时, 1 - (364/365)^(N^2) 確實為不錯的接近值.
如 N=1時 Pr = 0.00273
N=2時 Pr = 0.0109
N=3時 Pr = 0.0244
N=12時Pr = 0.3264
N=15時Pr=0.4606
N=16時Pr=0.5046

2011-07-20 07:03:25 補充：
原來是我看漏了參考出處,還以為{n,k} 是BINOMIAL COEFFICIENT

To doraemonpaul :

能否嘗試各 P(n) 的值？

2011-07-19 21:47:46 補充：
某N的最少值為16，那麼早前自由自在答對?

2011-07-19 21:50:36 補充：
To 自由自在 :

你怎計出式子 1 - (364/365)^(N^2) ?

2011-07-20 13:07:42 補充：
若N的最少值為16，那麼為什麼 doraemonpaul 不補充 ? 還有不確定因素？

2011-07-20 13:11:32 補充：
>> 實際上，當男1不同女1是364/365時，男1不同女2便是363/364 (分母變成了364,因已排除女1的那天), 但這已默認女2不同女1，所以準確的話也要考慮女2=女1時的概率。

學問先生,女2=女1的概率末免太少了吧，我計算過 1 - (364/365)^(N^2) 與doraemonpaul兄那條式相差不大，所以此式是可以接受的。

2011-07-20 13:14:52 補充：
再者，用 1 - (364/365)^(N^2) 這個接近值計算也不會影響答案。

2011-07-20 19:37:20 補充：
但近似值可為我們省掉不少時間!

2011-07-20 19:38:53 補充：
我們只是尋求答案，不是尋求完美，何必令自己辛苦？

2011-07-20 19:51:00 補充：
我們可以省掉時間來思考另一問題。

2011-07-20 19:59:25 補充：
用「概念上近似」的做法始於是很大的風險，好像這題，因為只要例如把1/2改為0.5045，學問與我便會推出N最少為17，但自由自在仍會推出N最少為16，那麼自由自在的做法便會泡湯。

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doraemonpaul 兄 , 你也懂計期望值吧，雖然錯的機會有1%?10%?，但可省掉50%?70%?的時間!明顯時間會被省掉

首先，從最簡單的情況開始測試。
若總共有 M 人(不分男女)，則全部人不一樣的概率是:
- M=2時，364/365...............第一人任意，第二人不可與第一人一樣;
- M=3時，(364/365)*(363/365)...第一人任意，第二人不可與第一人一樣;第三人不可與頭兩人一樣;
推理可知，不一樣的概率是 (364)/365 * (363)/365 *...(共 M-1 項)
= [(364)!/(365-M)!] / 365^(M-1)
為方便之後再用，定義此為 diff(M).
.
若總共有 M 人(不分男女)，會有人同一日生日的概率會是 1 - diff(m).
..
現考慮 N=2.
假設現在有兩個男仔A,B;兩個女仔P,Q;
CASE(I) A=/=B, 要不同於A及B, P有363選擇,同理Q有363選擇 (因女與女可重覆);
而至少有一女仔與男仔同日的概率則會是 [ 1 - (363/365)^2 ]
CASE(II) A=B, 要不同於A及B, P有364選擇,Q也有364選擇;
至少: [ 1 - (364/365)^2 ]
而 P(A=B) = 1/365 及 P(A=/=B) = diff(2);
.
為方便起見，取以下標記及定義:
"/" = "/365"
occupied date od(k) := {1 - [(365-k)/]^N }
.
即至少有1男1女同日生的概率(下文簡稱題概) : P(A=B)*od(1)+P(A=/=B)*od(2)
..
現試 N=3, ABC是男, PQR是女;
CASE(I) A=B=C, 有女仔同日是 od(1), CASE概率是 (1/)^2
CASE(II) A=/=B=/=C=/=A, 有女仔同日是 od(3), CASE 概率是 diff(3)
CASE(III) A=B=/=C,有女仔同日是 od(2),CASE概率是 1/ * 364/ ，但！
WLOG, 也可是 B=C=/=A 或 C=A=/=B, 所以 CASE概率要乘3.
所以題概: (1/)^2*od(1)+3*[(1/)*(364/)]*od(2)+diff(3)*od(3)
..
最後試 N=4, ABCD為男。
全不同, diff(4),od(4)
A=B=C=D的概率是 (1/)^3, od(1)
三個一樣的概率是 (1/)*(1/)*diff(2)，有四個情況(A,B,C,D任一不同) x4, od(2)
兩個一樣，餘下兩個不同 , od(3)
兩個一樣，餘下兩個也一樣，也是 od(2)
....
抱歉因時間關係，先想到這裡，明天有機會再繼續。
...
這個方法是女仔就男仔那邊。
...
最大的破綻是 N>364 時, diff(N)已不成立.
姑且視為僅適用於 N<365
...
以上未必全對，歡迎各位探討。

2011-07-19 11:37:24 補充：
N=4,
兩個一樣，餘下兩個也一樣)
有三個情況: A=B&C=D,A=C&B=D,A=D&B=C;是
CASE概率:1/*364/*1/ (A任意,B必同A,C必異AB,D必同C)
兩個一樣，餘下兩個不同)
有六個情況:A=B,A=C,A=D,B=C,B=D,C=D;是 4C2.
CASE概率:1/*364/*363/(A任意,B必同A,C必異AB,D必異ABC)

2011-07-19 11:37:31 補充：
題概(4):(1/)^3*od(1)+4*[(1/)^2*diff(2)]*od(2)+6*[(1/)*diff(3)]*od(3)+diff(4)*od(4)+3*[(1/)*(364/)*(1/)]*od(2)
= (1/)^3*od(1)+7*[(1/)^2*diff(2)]*od(2)+6*[(1/)*diff(3)]*od(3)+diff(4)*od(4)
..
N=3時系數不是1,3,3,1；而是1,3,1
N=4時系數不是1,4,6,4,1;而是1,7,6,1
唔...下午再試N=5的情況，看看能不能deduce general form 吧.

2011-07-19 12:27:26 補充：
事件之間相對獨立，計算「及」概率時才可以將概率相乘的。
若是同一人的生日，分別計算概率再將之相乘，這個方法妥當嗎？

2011-07-19 17:59:23 補充：
因此這題的N最少值為16。 <-加在「補充答案」部份吧。
我剛剛看了一下你連結內關於{n,k}的定義，正是我要找的系數。將Sterling number 條式也加在「補充答案」部份，讓它完整吧。
完整的答案會是最佳的。

2011-07-20 08:39:17 補充：
doraemonpaul兄，可否將參考出處條「Sterling Number公式」加在「補充內容」(在自己答案的下方可選)。以及將「N至少是16」加在「補充內容」。
讓看的人不用去別的網址才能看到完整的答案。好嗎?

2011-07-20 08:42:29 補充：
> 另外當N相對365為小时, 1 - (364/365)^(N^2) 確實為不錯的接近值.
自由自在兄，實際上，當男1不同女1是364/365時，男1不同女2便是363/364 (分母變成了364,因已排除女1的那天), 但這已默認女2不同女1，所以準確的話也要考慮女2=女1時的概率。

2011-07-21 17:54:12 補充：
認同doraemonpaul兄所言，尋求通解比較符合數學本身的精神。畢竟科學在於研究，在於在解決問題的過程中思考更深入的、更有意思的問題。
而lop兄對待數學的態度有點像是從工程學的角度出發，以能夠解決本身的問題為根本目的，這一點相信大家也是可以理解的。
相信YAHOO知識這個平台是可以容許各種不同的聲音以和而不同的形式存在的。

每4年才有一次2月29日