分式方程式之問題

你做的沒有錯，只是在中途便停止了，以為是無解。

[1/(x+7)] + [1/(x+9)] = [1/(x+6)] + [1/(x+10)]
兩邊同時乘以 (x+7)(x+9)(x+6)(x+10)，得：
(x+9)(x+6)(x+10) + (x+7)(x+6)(x+10) = (x+7)(x+9)(x+10) + (x+7)(x+9)(x+6)
(2x+16)(x²+16x+60) = (2x+16)(x²+18x+63)

(2x+16)(x²+16x+60) - (2x+16)(x²+18x+63) = 0
(2x+16)[(x²+16x+60) - (x²+18x+63)] = 0
-3(2x+16) = 0
-6(x+8) = 0
x+8 = 0
x = -8

2011-07-08 13:25:54 補充：
無疑同乘有增根的危機，但一來同乘的計算速度較快，二來就算通分母，太早處理分子都會做成增根，若不早處理分子則計算速度會更慢。

我用的方法還是「兩邊同時乘以各分母的最小公倍式」，得解後驗算同乘的不等於零便可。以本題為例，根為 x = -8，同乘的 (x+7)(x+9)(x+6)(x+10) 不等於零（一眼可以看出來），此根便不是增根。

2011-07-08 13:32:56 補充：
我絕不讚成同除，因為同除減根，所減的根看不見。
以本題為例，計不到答案 x = -8 是因為兩邊同時除以 2x + 16，即兩邊同時除以 0。

你沒有做錯
但也不是無解
你只做到一半
你只做到
（２Ｘ＋１６）（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６０）＝（２Ｘ＋１６）（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６３）
所以(整理一下)
（２Ｘ＋１６）{（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６０）-（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６３）}=0
-6(x+8)=0
x=-8

只是 以一個老師的立場
我要建議你
分式方程式 最好以通分的方式來做
而少用您的方式 [同乘(x+6)(x+7)(x+9)(x+10)]
因為 您的方式 會造成 "增根" .....若同除 會造成 "減根"
加油 多算 多想 您的數學會日益精進的....

最後一步不可左右相消
需乘出化簡
X=-8

我算
2(X^2+18X+80)(X+6)=2(X^2+15X+56)(X+9)
==>X=-8

2011-07-08 08:46:00 補充：
　如樓下講的：
分式方程需特別注意相乘增根,相除減根問題。
最好將根帶回去驗算。
為避免增根減根用通分移項整理。

（１/Ｘ＋７）＋（１／Ｘ＋９）＝（１／Ｘ＋６）＋（１／Ｘ＋１０）

→　（Ｘ＋９）（Ｘ＋６）（Ｘ＋１０）＋（Ｘ＋７）（Ｘ＋６）（Ｘ＋１０）＝（Ｘ＋７）（Ｘ＋９）（Ｘ＋１０）＋（Ｘ＋７）（Ｘ＋９）（Ｘ＋６）

→　（２Ｘ＋１６）（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６０）＝（２Ｘ＋１６）（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６３）
→　（２Ｘ＋１６）（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６３）－（２Ｘ＋１６）（Ｘ^2＋１６Ｘ＋６０）＝０


→　（２Ｘ＋１６）（３）＝０

→　２Ｘ＋１６＝０

→　２Ｘ＝－１６

→　Ｘ＝－８