F5 Combination

1)nCr + nC(r-1) = n! / [(r!) (n - r)!] + n! / [(r - 1)! (n - r + 1)!] = n! (n - r + 1) / [r! (n - r + 1)!] + n! r / [r! (n - r + 1)!] = n! (n - r + 1 + r) / [r! (n - r + 1)!] = n! (n + 1) / [r! (n - r + 1)!] = (n + 1)! / [r! (n + 1 - r)!] = (n+1)Cr
2)By 1) , nCr + nC(r-1) = (n+1)Cri.e.(n+1)Cr + (n+1)C(r-1) = (n+1 + 1)CrLet r be 4 :(n+1)C4 + (n+1)C(4-1) = (n+1 + 1)C4(n+1)C3 + (n+1)C4 = (n+2)C4

除了extent 所有nCr 等式上的 factorial 外，仲可以用combin. proof 啦~

如果有 n+1 件東東，我想揀 r 件出來 (i.e. n+1 C r)~
咁如果我揀第一件，那餘下的 n 件中就要揀多 (r-1) 件，有 n C (r-1) 個可能；
如果我唔揀第一件，那餘下的 n 件中就要揀多 r 件，有 n C r 個可能。
所以 n C r + n C (r-1) = (n+1) C r

同樣地，
如果有 (n+2) 件東東，我想揀 4 件出來 (i.e. (n+2) C 4)~
咁如果我揀第一件，那餘下的 (n+1) 件中就要揀多 3 件，有 (n+1) C 3 個可能；
如果我唔揀第一件，那餘下的 n 件中就要揀多 4 件，有 (n+1) C 4 個可能。
所以 (n+1) C 3 + (n+1) C 4 = (n+2) C 4



又或者可以用 Pascal's triangle 講講呀~

n C (r-1) = 第 (n+1) 行第 r 項
n C r = 第 (n+1) 行第 (r+1) 項
加埋就係 第 (n+2) 行第 (r+1) 項 = (n+1) C r

同理，
(n+1) C 3 = 第 (n+2) 行第 4 項
(n+1) C 4 = 第 (n+2) 行第 5 項
加埋就係 第 (n+3) 行第 5 項 = (n+2) C 4



希望可以幫到你 >v<