若 f(x,y)=f(x)且y=/=常數, 則f(x)=??

{{若 f(x,y)=f(x)且y=/=常數}}

對不起
這句話我看不懂

如果直接看這個式子
是不是可以寫成：
f(x,l) = f(x) 其中 l=常數
那這樣不就是恆成立了嗎？

不懂

2011-07-12 16:47:56 補充：
一直不見版主解答我的疑問那我就只好按照自己的認知去解題囉 我這邊使用多項式函數來處理其他函數種類依樣畫葫蘆即可 令f(x,y) = a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)y + … +a(1)xy^(n-1) +a(0)y^n其中a(n), a(n-1), …, a(1), a(0)均是常係數n為 “自然數 + {0}” 則由題意f(x,y)(且y=c=常數) = a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)c + … + a(1)xc^(n-1) +a(0)c^n = f(x)(恕我擅自把”l”改成”c”比較不會看錯成”1”) 由f(x,y) = f(x)知道當等號兩邊對y微分1次、2次、…、n次時右邊都會為0故得到：微分1次：a(n-1)x^(n-1) +2a(n-2)x^(n-2)y + … + (n-1)a(1)xy^(n-2) + na(0)y^(n-1) = 0微分2次：2a(n-2)x^(n-2) + ….+ (n-1)(n-2)a(1)xy^(n-3) + n(n-1)a(0)y^(n-2) = 0............微分(n-1)次：(n-1)！a(1)x + n(n-1)…2 a(0)y = 0微分n次：n！a(0) = 0再將y = c 由下而上依序一一代回上面經過微分的式子即得到a(0) = a(1) = a(2) = … = a(n-1) =0 故最後得到：f(x,y)= f(x) = a(n)x^na(n)為常係數此即答案 特殊狀況當n = 0 時即得到版主所說的情形 f(x,y) = f(x) = 常數

其他函數種類
利用這個方法都可以得到答案
結果與多項式函數類似

2011-07-12 21:34:13 補充：
回版主
如果改成 “y不等於常數”
那就更簡單了

我原來的做法做起來就會更快

令
f(x,y) = a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)y + … + a(1)xy^(n-1) +a(0)y^n
其中a(n), a(n-1), …, a(1), a(0)均是常係數
n為 “自然數 + {0}”

則由題意
f(x,y)(且y不等於常數) = f(x)
即 a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)y + … + a(1)xy^(n-1) +a(0)y^n = f(x)
也就是y的所有冪次項的係數都必須是0

2011-07-12 21:35:11 補充：
則立即得到a(0) = a(1) = a(2) = … = a(n-1) =0
(就不需要前面所做的微分運算了)

故馬上同樣得到：
f(x,y) = f(x) = a(n)x^n
a(n)為常係數
此即答案

同樣的
特殊狀況當n = 0 時
即得到版主所說的情形 f(x,y) = f(x) = 常數

2011-07-12 21:46:16 補充：
再談另一種函數好了

指數函數
令f(x,y) = a exp(kx) + b exp(hy) a,b,k,h均為實、常數
同樣依題意 f(x,y) = f(x)
即f(x,y) = a exp(kx) + b exp(hy) = f(x)
意即 b = 0 或 h = 0

當 b = 0 時
f(x,y) = f(x) = a exp(kx)
當 h = 0 時
f(x,y) = f(x) = a exp(kx) + b

其他函數種類就依此類推了

2011-07-16 07:33:49 補充：
yes

基本觀念都沒弄清楚, 如何解題?

(1) f 既是雙變數函數的名稱, 就不該再當做單變數函數的名稱.

(2) y 是自變數, 哪裡需要 "y≠常數" 的條件?

若說
雙變數函數 f(x,y) 恆等於某個單變數函數 g(x), 對所有 (x,y).

那麼, 很簡單, 就是 f(x,y) 中不涉及 y. 即:
f(x,y) = f(x,y*), for any y, y*.

f(x)為何既是單變數函數又是多變數函數？

2011-07-07 19:04:49 補充：
f到底有幾個自變數？
你還沒回答這個問題。

條件夠唷 ! !!!

2011-07-06 17:47:49 補充：
f() 才是函數唷!! y 和 x 是自變數唷!

2011-07-07 16:45:43 補充：
Yee ( 專家 1 級 )大大


如果 f(x,y) =常數函數
則 f(x,y) 符合f(x,y)=f(x) !!!

故" f(x) =常數函數"是f(x) 的解!!

只不過我不知道 是如何證明 " 當f(x,y)=f(x)時 f(x,y) =常數函數" 的!!

謝謝唷!!

2011-07-08 14:30:42 補充：
Yee ( 專家 1 級 )大大
您好



f有兩個自變數變數!
f是多變數函數唷!!



請注意在
f(x,y)=f(y)=f(x)
之中
f(y)表示 無論x的值是什麼 , f 與y的關係
f(x)表示 無論y的值是什麼 , f 與x的關係
故
如果f(y)=f(x)=常數
則f(x,y)=f(y)=f(x)才有可能成立!!!

2011-07-08 14:31:17 補充：
如果無法想像
請試著
在空間的直角座標(x,y,f) 上做圖
然後 自然就會看出
當f(x,y)=平行於(x,y)平面的平面時
則f(x,y)=f(y)=f(x)必定成立
而所謂的f(x,y)=平行於(x,y)平面的平面
就是表示f(x,y)=constant=c



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在強調一次:
f(y)表示 無論x的值是什麼 , f 與y的關係
f(x)表示 無論y的值是什麼 , f 與x的關係
f是多變數函數!!
f只有兩個自變數 x以及y喔!
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謝謝您!! (我的問題就麻煩您囉!)

2011-07-09 21:01:39 補充：
??
人呢????????????

2011-07-12 20:46:59 補充：
超級螞蟻 ( 實習生 1 級 )大大
您好
正確題目是
{{若 f(x,y)=f(x)且y≠常數}}
{{若 f(x,y)=f(x)且y不等於常數}}
唷!!

因為之前不知道 如何打出 不等於 所以才想說用 "=/="代替!!!

抱歉 因為這幾天沒有上網 (正在認真讀書中)
所以 才這麼晚回應的 !!

2011-07-15 21:04:10 補充：
老怪物 ( 專家 3 級 ) 大大
您好
很謝謝您
我懂了
意思是說 如果我用 f(x,y) = f(x,y*), for any y, y*. 來表示

就不會讓人誤會了吧!!
謝謝您!!

這樣條件夠嗎?
f(x) 只要不含 y 就可以了.