✔ 最佳答案
{{若 f(x,y)=f(x)且y=/=常數}}
對不起
這句話我看不懂
如果直接看這個式子
是不是可以寫成：
f(x,l) = f(x) 其中 l=常數
那這樣不就是恆成立了嗎？
不懂
2011-07-12 16:47:56 補充：
一直不見版主解答我的疑問那我就只好按照自己的認知去解題囉 我這邊使用多項式函數來處理其他函數種類依樣畫葫蘆即可 令f(x,y) = a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)y + … +a(1)xy^(n-1) +a(0)y^n其中a(n), a(n-1), …, a(1), a(0)均是常係數n為 “自然數 + {0}” 則由題意f(x,y)(且y=c=常數) = a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)c + … + a(1)xc^(n-1) +a(0)c^n = f(x)(恕我擅自把”l”改成”c”比較不會看錯成”1”) 由f(x,y) = f(x)知道當等號兩邊對y微分1次、2次、…、n次時右邊都會為0故得到：微分1次：a(n-1)x^(n-1) +2a(n-2)x^(n-2)y + … + (n-1)a(1)xy^(n-2) + na(0)y^(n-1) = 0微分2次：2a(n-2)x^(n-2) + ….+ (n-1)(n-2)a(1)xy^(n-3) + n(n-1)a(0)y^(n-2) = 0............微分(n-1)次：(n-1)！a(1)x + n(n-1)…2 a(0)y = 0微分n次：n！a(0) = 0再將y = c 由下而上依序一一代回上面經過微分的式子即得到a(0) = a(1) = a(2) = … = a(n-1) =0 故最後得到：f(x,y)= f(x) = a(n)x^na(n)為常係數此即答案 特殊狀況當n = 0 時即得到版主所說的情形 f(x,y) = f(x) = 常數
其他函數種類
利用這個方法都可以得到答案
結果與多項式函數類似
2011-07-12 21:34:13 補充：
回版主
如果改成 “y不等於常數”
那就更簡單了
我原來的做法做起來就會更快
令
f(x,y) = a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)y + … + a(1)xy^(n-1) +a(0)y^n
其中a(n), a(n-1), …, a(1), a(0)均是常係數
n為 “自然數 + {0}”
則由題意
f(x,y)(且y不等於常數) = f(x)
即 a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1)y + … + a(1)xy^(n-1) +a(0)y^n = f(x)
也就是y的所有冪次項的係數都必須是0
2011-07-12 21:35:11 補充：
則立即得到a(0) = a(1) = a(2) = … = a(n-1) =0
(就不需要前面所做的微分運算了)
故馬上同樣得到：
f(x,y) = f(x) = a(n)x^n
a(n)為常係數
此即答案
同樣的
特殊狀況當n = 0 時
即得到版主所說的情形 f(x,y) = f(x) = 常數
2011-07-12 21:46:16 補充：
再談另一種函數好了
指數函數
令f(x,y) = a exp(kx) + b exp(hy) a,b,k,h均為實、常數
同樣依題意 f(x,y) = f(x)
即f(x,y) = a exp(kx) + b exp(hy) = f(x)
意即 b = 0 或 h = 0
當 b = 0 時
f(x,y) = f(x) = a exp(kx)
當 h = 0 時
f(x,y) = f(x) = a exp(kx) + b
其他函數種類就依此類推了
2011-07-16 07:33:49 補充：
yes
