若f(x+y)=f(x)*f(y) 則f(0)=??

您好：

我們可以由
f(x+y) = f(x) f(y)
得到
f(x+y) = f((x+y) +0) = f(x+y) f(0)

1. 當f(x+y) 不等於0時
得到 f(0) =1

2. 當f(x+y) =0 時
則由 f(x+y) = f(x) f(y)
知道 f(x) = 0 或 f(y) = 0
但 x,y 均是任意變數
所以 f(x) 恆等於0
這就表示
f 這個函數就是 0
不管其自變數為何本題顯然正確




2011-07-06 17:59:24 補充：
所以版大原本得出的解答 0 或 1
是完整的解答
只是因為推導的方式
造成您在解釋上發生困擾

(1)

如果f(0)=0

則對於任意實數 k

f(k+0)=f(k)*f(0)

f(k)=f(k)*0=0

那麼這個函數就是個常數函數

並沒有太多討論的價值


(2)

事實上滿足 f(x+y)=f(x)*f(y)

就是指數函數 f(x)=a^x a≠0

而 f(0)=a^0=1

是眾所周知的性質

證明

f(k+0)=f(k)*f(0)

f(k)=f(k)*f(0)

由於a≠0所以 f(0)≠0

兩邊同除以 f(k)

得到 f(0)=1

科學4版大您好:您的程度不錯喔...呵呵...

(x+y)=f(x)*f(y)
令y=0 則f(x)=f(x)*f(0)故f(0)=1以上供參

2011-07-06 17:39:20 補充：
對不起
第1行 f(x+y)=f(x)*f(y)才是

《小不點》♂ 佐〞 ( 初學者 5 級 ) 大大

您這種說法是錯的唷!! " x=y 不是大於0 就是小於0 , 不可能等於0 "

因為
如果 x=y=0 , 這樣x+y就會等於0 了呀 !
您怎麼會說"不可能" 呢??

2011-07-06 17:39:24 補充：
《小不點》♂ 佐〞 ( 初學者 5 級 ) 大大

因為題目只是要我們求f(0)=?

因此 只要令x=y=0
就可以得到 f(0) 的關係式了
即
f(x+y)=f(x)*f(y)
令x=y=0
可得f(0)=f(0)*f(0)
然後推得 f(0)= 1 或 0

其中
我令x=y=0 這個動作不是"假設"
而是題目本身就要我們求x=y=0 時的情況的!
因為 題目需要的就是
f(x)=f(0)=??
f(y)=f(0)=??
f(x+y)=f(0)=??
而且 這三者的函數形式相同 都是 f()
因此,將這三者的括弧內代入0,所得到的f(0)都具有相同的值,都是題目要的f(0)

2011-07-06 17:44:13 補充：
阿銘 ( 實習生 1 級 ) 大大
您太棒了!!

2011-07-07 16:13:23 補充：
超級英雄 ( 實習生 5 級 )大大]
謝謝您!

2011-07-07 16:17:59 補充：
超級螞蟻 ( 實習生 1 級 ) 您更厲害

您的意思就是說 推導前 最好先進行"分析" (把不同情況分開來討論)

才不會因為 推導前的未加分析 而造成推導後的困擾!!

若f(x+y)=f(x)*f(y) 則f(0)=??基本上我並不知道答案...

但我覺得你的推論是錯的

若 f(0) 那 x 就不等於 y 了吧~
x=y 不是大於0 就是小於0 , 不可能等於0
所以一開始的假設就不太正確囉,請以我的建議在重新推論一次吧

希望有幫到你^^