高一 (多項式函數)題目

1.x^2+x+1除f(x)餘x+3，以x+2除f(x)餘16則以(x+2)(x^2+x+1)除f(x)所得為?
Sol
f(x)=q(x)(x^2+x+1)(x+2)+a(x^2+x+1)+x+ 3
f(－2)=a(4－2+1)+1= 16
a=5
5(x^2+x+1)+x+3=5x^2+6x+8

2.設 f(x)為三次多項式,若以x^2－1除之餘式為x+1，以x^2+1除之餘式為
－x－1，則f(x)=___
Sol
x^2－1=(x－1)(x+1)
f(x)=a(x－1)(x^2+1)+b(x^2+1)－x－1
f(1)=b(2)－2=2
b= 2
f(x)=a(x－1)(x^2+1)+2x^2－x+ 1
f(－1)=a(－2)(2)+4= 0
a= 1
f(x)=(x－1)(x^2+1)+2x^2－x+1=x^3+x^2

發問者

001的回答比較簡潔清楚耶!

要學這種解法啦!

2011-07-06 01:30:07 補充：
投票投002的各位"站友', 希望你們好好分析001的解法, 數學不是只有答對就好, 好的解法會貫通大腦, 沒那好的的解法有時會混淆思考!

學數學要學"高手"的想法, 這裡有不少高手, 想法都很厄要精簡, 如果不能好好學這些想法, 那就白來這裡了!

我來這裡半年, 拜各高手之賜, 真的功力大進,頭腦清楚許多!

2011-07-11 23:50:05 補充：
阿諾,

我是就事論事罷了, 我也只是"初學者2級", 比你資深不了多少啦!

別氣餒, 來這裡就是要敢於說出自己的想法(或解法), 腦力激盪一番, 一定有所收獲, 就算沒有賺到點數, 也賺到了知識!

知之為知之,不知為不知, 是知也!

了解自己的不足, 才能惕厲自我, 更上一層樓!

共勉之!

P.S. 這裡的"知識長","大師","專家" 有時也會答錯耶! (當然大多數題目都答得讓人拍手稱好)

如果假設式子能力沒很好的話 可以試試看這個 雖然會慢一點 但你頭腦能裝少一點東西 應付更多考試內容 從頭到尾都餘式定理觀念而已

第一題:x^2+x+1除f(x)餘x+3,以x+2除f(x)餘16則以(x+2)(x^2+x+1)除f(x)所得為?

令f(x)=(x^2+x+1)(x+2)*q(x)+ax^2+bx+c (註:因為除式3次 所以餘式假設ax^2+bx+c) 題目說x+2除f(x)餘16 所以f(-2)=4a-2b+c=16 題目又說x^2+x+1除f(x)餘x+3 所以令x^2+x+1=0 移項會得到x^2=-x-1 把它代進f(x)=(x^2+x+1)(x+2)*q(x)+ax^2+bx+c 得到-ax-a+bx+c=x+3 整理一下 x和常數分開 這時候你會得到b-a=1(第一式)和c-a=3(第二式)這2個方程組 第二式減第一式得到c-b=2(第三式) 你在把這些關係式代進f(-2)=4a-2b+c=16 即可解出a=5 b=6 c=8
故餘式=5x^2+6x+8



第二題:設f(x)為三次多項式,若以x^2-1除之,餘式為x+1,
以x^2+1除之,餘式為-x-1,則f(x)=___

一樣用餘式定理觀念 先假設f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 你令除式x^2-1=0 得到x^2=1 代進f(x)得到ax+b+cx+d=x+1(第一式) x^2+1也令他=0 x^2=-1 代進f(x)得到-ax-b+cx+d=-x-1(第二式) 二式相加→2cx+2d=0 這很明顯 x+常數=0 代表2個都是0 所以c和d都=0 第一式說ax+b+cx+d=x+1 故a=1 b=1 當然你想代第二式也是ok的 ax-b+cx+d=-x-1 a b解出來都=1 所以f(x)=x^3+x^2

2011-07-02 11:29:42 補充：
基本上 餘式定理不只能用在除式一次式 高次的也能 叫做降次代換

2011-07-06 21:01:39 補充：
TO:truetest ( 初學者 2 級 )大大
其實我也知道解法1比較好
但我提出我的方法是因為
考試有時候會緊張 你緊張也許會忘記公式或者解法
在這種情況下 不可能交白卷吧 還是要思考一下
我的方法只是提供參考而已 當然最正統還是要用方法1
畢竟我也只是個高職商科生 未來要學習的路還很長
希望以後能多多指教

2011-07-06 21:10:31 補充：
請各位把票投給001吧
前輩的解法一定優於我這夜校生

2011-07-12 22:55:52 補充：
是阿
我門老師也說
學習要學好的方法
了解自己的不足, 才能惕厲自我, 更上一層樓!
我會銘記在心的
感謝指教^^

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