數學知識交流---求值(1)

第一題
1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... -147573952589676412928
=1-2^1+2^2-2^3+2^4-2^5+...-2^67
=(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^67)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^67)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^67)
=(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^67)-2(2^1+2^3+2^5+...+2^67)
=1*(1-2^68)/(1-2) -2*2*(1-2^68)/(1-2^2)
=2^68-1 -(4/3)*(2^68-1)
=-(1/3)*(2^68-1)
=-(147573952589676412928*2-1)/3 可自己計算寫出

第二題
1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... +2^100
=1-2^1+2^2-2^3+2^4-2^5+...+2^100
=(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^100)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^99)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^99)
=(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^100)-2(2^1+2^3+2^5+...+2^99)
=1*(1-2^100)/(1-2) -2*2*(1-2^101)/(1-2^2)
=2^100-1 -(4/3)*(2^101-1)

約等於-2.112751*10^30 科學記數法

上面兩題均用了級數數列之和的公式運算

(1)
解：1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... - 147573952589676412928
= - [ ( 2-1 ) + ( 8-4 ) + ( 32-16 ) + ... + ( 2⁶⁷-2⁶⁶) ]
= - ( 4⁰+ 4¹ + 4² + ... + 4³³ )
設 S = 4⁰+ 4¹ + 4² + ... + 4³³
則 4S = 4¹ + 4² + ... + 4³³ + 4³⁴
4S - S = 4³⁴- 4⁰
3S = 4³⁴- 1
S = (4³⁴- 1) / 3
所以原式 = - (4³⁴- 1) / 3