maths(16) - 方程、餘數問題

試求下列方程組的正整數解(x，y，z)。
2x +y=z－1 ..............(1)
8x^3+y^3=z^2－1 .... (2)
Sol
(2)/(1)
4x^2－2xy+y^2=z+1
4x^2－2xy+y^2－2=z－1
4x^2－2xy+y^2－2=2x+y
4x^2+x(－2y－2)+(y^2－y－2)=0
D=(－2y－2)^2-4*4*(y^2－y－2)
D/4=y^2+2y+1－4y^2+4y+8
=－3y^2+6y+9=p^2，p>=0
3y^2－6y=9－p^2
3y^2－6y+3=12－p^2
3(y－1)^2=12－p^2
(a) p=0 =>y=3
2x +3=z－1
8x^3+27=z^2－1
z=2x+4
8x^3+27=4x^2+16x+16－1
8x^3－4x^2－16x+12=0
2x^3－x^2－4x+3=0
(2x^3－2x^2)+(x^2－x)+(－3x+3)=0
2x^2(x－1)+x(x－1)－3(x－1)=0
(2x^2+x－3)(x－1)=0
(2x+3)(x－1)(x－1)=0
So
x=1(重根) or x=－3/2(不合)
z=6
(x，y，z)=(1，3，6)
(b) p=1 (不合)
(c) p=2 (不合)
(d) p=3 (不合)

試求以下數除以2002的餘數。
3!*3+4!*4+5!*5+ .... +90!*90+91!*91
Sol
2002=2*7*11* 13
A =3!*3+4!*4+5!*5+ .... +90!*90+91!*91
B=4!+5!+6!+…+92!
B-A=3!+4!+5!+…+91!
B=4!+5!+6!+…+92!
=>4!+5!+6!+…+12!
B－A=3!+4!+5!+…+91!
=>3!+4!+5!+…+12!
A=B－(B－A)
=>(4!+5!+6!+…+12!)-(3!+4!+5!+…+12!)
=>－3!
=>－6+2002
=>1996

作為你的回答吧~~~

1)

明顯 2x + y = z - 1 > 0 ,

(2) / (1) :

(8x³ + y³) / (2x + y) = (z² - 1) / (z - 1)

4x² - 2xy + y² = z + 1 ,

利用(1) :

4x² - 2xy + y² = 2x + y + 2

4x² - 4xy + y² = 2x + y + 2 - 2xy

(2x - y)² - 3 = 2x + y - 2xy - 1

(2x - y)² - 3 = - (2x - 1)(y - 1) ≤ 0

故 (2x - y)² ≤ 3

2011-06-19 16:16:46 補充：
Case 1 :

(2x - y)² = 1
{
- (2x - 1)(y - 1) = - 2

==>

2x - y = 1
{
(2x - 1)(y - 1) = 2

解之得 (x = 0 , y = - 1)捨 或 (x = 3/2 , y = 2) 捨

或

2x - y = - 1
{
(2x - 1)(y - 1) = 2

解之得 (x = 1 , y = 3) 或 (x = -1/2 , y = 0) 捨

2011-06-19 16:16:52 補充：
Case 2 :

(2x - y)² = 0
{
- (2x - 1)(y - 1) = - 3

==>

2x - y = 0
{
(2x - 1)(y - 1) = 3

解得(x = (1 ± √3)/2 , y = 1 ± √3) 捨

故方程組的正整數解 :

(x = 1 , y = 3 , z = 6)

2011-06-19 16:47:08 補充：
我很懶惰,回答在此算了^^"