中4數廷求導法的應用

求曲線 x² - 2y² = 7 的切線方程,其中切點通過(-1, 5)。

題目應是「切線通過(-1, 5)」，因 (-1, 5) 不在 x² - 2y² = 7 上。
設切點為 (h, k)。

x² - 2y² = 7
兩邊對 x 微分得： 2x - 4yy' = 0
y' = x/2y

所求切線的斜率:
(k - 5)/(h + 1) = h/2k
h² + h = 2k² - 10k
h² - 2k² = -h -10k ...... (1)

(h, k) 在x² - 2y² = 7 上：
h² - 2k² = 7 ...... (2)

(1) = (2):
- h - 10k = 7
h = -10k - 7 ...... (3)

把(3) 代入(2) 中：
(-10k - 7)² - 2k² = 7
100k² + 140k + 49 - 2k² = 7
98k² + 140k + 42 = 0
7k² + 10k + 3 = 0
(7k + 3)(k + 1) = 0
k = -3/7 或 k = -1

當 k= -3/7:
把 k= -3/7 代入 (3) 中：
h = -10(-3/7) - 7
h = -19/7
切線方程：
(y - 5)/(x + 1) = (-19/7) / [2(-3/7)]
(y - 5)/(x + 1) = 19/6
19x + 19 = 6y - 30
19x - 6y + 49 = 0

當 k= -1:
把 k= -1 代入 (3) 中：
h = -10(-1) - 7
h = 3
切線方程：
(y - 5)/(x + 1) = 3/[2*(-1)]
(y - 5)/(x + 1) = -3/2
2y - 10 = -3x - 3
3x + 2y - 7 = 0

故所求之切線方程：19x - 6y + 49 = 0 或 3x +2y - 7 = 0

2011-06-18 02:41:51 補充：
由於 (-1, 5) 不在曲線 x² - 2y² = 7 上，
因此不能把 x = -1 及 y = 5 代入 y' = x/2y 中求切線的斜率。

Differentiate once, get

2x - 4y*dy/dx = 0
dy/dx = x/2y
At (-1, 5), dy/dx = -1/10

so the equation of the tangent:
y-5 = -1/10(x+1)
x+10y-49=0