中4數廷求導法的應用題

求曲線x² + y² = 25的切線方程，切線通過(15, -5)。


曲線 x² + y² = 25 為一圓。
圓心O =(0, 0)， 半徑 = √25= 5
切線通過 P(15, -5)。
設切點為 T(h, k)。

根據圓切線的性質，PT⊥OT
直角三角形 PTO 中： OP² = OT² + PT²
[(15 - 0)² + (-5 - 0)²] = (5)² + [(h - 15)² + (k + 5)²]
250 = 25 + h² - 30h + 225 + k² + 10k + 25
h² + k² = 30h - 10k - 25 ...... (1)

T 在曲線 x² + y² = 25 上：
h² + k² = 25 ...... (2)

(1) = (2):
30h - 10k - 25 = 25
30h - 10k - 50 = 0
3h - k - 5 = 0
k = 3h - 5 ...... (3)

把(3) 代入(2)：
h² + (3h - 5)² = 25
h² + 9h² - 30h + 26 = 0
10h² - 30h = 0
10h(h - 3) = 0
h = 0 or h = 3

當 h= 0：
把 h= 0 代入(3)： k = 3(0) - 5
k = -5
切線為連接 (0, -5) 與 (15, -5) 之直線。
切線：
y = -5
y + 5 = 0

當 h= 3：
把 h= 3 代入(3)： k = 3(3) - 5
k = 4
切線為連接 (3, 4) 與 (15, -5) 之直線。
切線：
(y - 4)/(x - 3) = (4 + 5)/(3 - 15)
(y - 4)/(x - 3) = -3/4
4y - 16 = -3x + 9
3x + 4y - 25 = 0

切線為： y + 5 = 0 及 3x + 4y - 25 = 0

2011-06-17 01:28:08 補充：
另一方法：
x² + y² = 25
(d/dx)(x² + y²) = 0
2x + 2yy' = 0
y' = -x/y

設切點為 (h, k)。
(k + 5)/(h - 15) = -h/k
k² + 5k = -h² + 15h
h² + k² = 15h - 5k ... (1)

切點在曲線 x² + y² = 25 上：
h² + k² = 25 ...... (2)

2011-06-17 01:28:18 補充：
(1) = (2):
15h - 5k = 25
15h - 5k - 25 = 0
3h - k - 5 = 0
k = 3h - 5 ...... (3)

用與上相同的方法計算得切線為：
y + 5 = 0 及 3x + 4y - 25 = 0 ...... (答案)

2011-06-17 01:35:53 補充：
另一個法可參考：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7011061700001