中4數廷求導法的應用題

求曲線x² + y² = 25的切線方程，切線通過(15, -5)。


x² + y² = 25
(d/dx)(x² + y²) = 0
2x + 2yy' = 0
y' = -x/y

設切點為 (h, k)。
(k + 5)/(h - 15) = -h/k
k² + 5k = -h² + 15h
h² + k² = 15h - 5k ... (1)

T 在曲線 x²+ y² = 25 上：
h² + k² = 25 ...... (2)

(1) = (2):
15h - 5k = 25
3h - k - 5 = 0
k = 3h - 5 ...... (3)

把(3)代入(2)：
h² + (3h - 5)² = 25
h² + 9h² - 30h + 26 = 0
10h² - 30h = 0
10h(h - 3) = 0
h = 0 or h = 3

當 h=0：
把 h=0 代入(3)： k = 3(0) - 5
k = -5
切線為連接(0, -5) 與(15, -5) 之直線。
切線：
y = -5
y + 5 = 0

當 h=3：
把 h=3 代入(3)： k = 3(3) - 5
k = 4
切線為連接(3, 4) 與(15, -5) 之直線。
切線：
(y - 4)/(x - 3) = (4 + 5)/(3 - 15)
(y - 4)/(x - 3) = -3/4
4y - 16 = -3x + 9
3x + 4y - 25 = 0

切線為： y + 5 = 0 及 3x + 4y - 25 = 0

2011-06-17 01:34:55 補充：
另一做法：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7011061700007

求曲線x^2+y^2=25的切線方程切線通過(15，－5)
求標準中文做法..詳細步驟
Sol
設切線：y+5=m(x－15)
mx－y－15m－5=0
x^2+y^2=25
圓心(0，0)，半徑=5
So
|m*0－0－15m－5|/√(m^2+1)=5
( 15m +5)^2=25(m^2+1)
( 3m +1)^2=(m^2+1)
9m^2+ 6m +1=m^2+1
4m^2+ 3m = 0
m=0 or m=－3/4
(1) m=0
切線：y+5=0
(2) m=－3/4
切線：y+5=(－3/4)(x－15)
4y+20=－3x+45
3x+4y=25