固定周長的面積問題

我在另一題中有相關的解答

http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7011061500967

2011-06-19 17:04:34 補充：
小子,

你去睇我個解答啦, prove 到你想要的東西, 因為只要是平面圖形, 我個prove 都成立的. 不論是否正多邊形.

http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7011061500967
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%91%A8%E5%AE%9A%E7%90%86

Let n be the length
A=(n/2k)(n/2k/tan(π/k)) be the area of regular polygon where k is number of sides of the polygon

we can simply prove that A increase with k by induction
therefore when k is at infinity, 1/k=0, A will be the maximum

lim (n/2k)(n/2k/tan(π/k))
=lim n*n/(4ktan(π/k))
=lim n*n/4π* ( (π/k)/tan(π/k))
=n*n/4/π *1
=n*n/4/π

therefore the maximum area is n*n/4/π where n is the length

方法1: 微積分求極大值

1. 先找出最大的四方形的面積

設 A = 面積, l = 四方形之長度, w = 四方形之闊度

n = 2 (l + w)
l + w = n/2
w = n/2 - l

A = lw
= l (n/2 - l)
= nl/2 - l^2

dA/dl = n/2 - 2l
d^2 A/dl^2 = -2 < 0

When dA/dl = 0,
n/2 - 2l = 0
2l = n/2
l = n/4

A attains its absolute max. when l = n/4.
w = n/2 - l = n/2 - n/4 = n/4
The max. area is lw = n/4 * n/4 = n^2 / 16

2. 找出圓的面積

圓周 = n
直徑 = n / π

To no3lunch:

「相同週長圖形以圓形面積為最大。」

證明在哪裡?=.=

2011-06-17 23:32:08 補充：
TO HuiFung:

你只証明了「在固定周界下,正多邊形以圓形的面積為最大」

但任意多邊形呢?

2011-06-19 18:36:18 補充：
to Ho-yin :

3.固定周界的最大面積圖形是圓形.
考慮任意的一個面積為A的圖形G.
必可作出一個圓形C, 其面積也是A.
並且G的周界>= C的周界.
設若
G的周界=x
C的周界=x0 ≤ x
把C放大至 x/x0 倍為圓C', 則C'的周界=x=G的周界
並且可知C'的面積=A(x/x0)^2 ≥ A =G的面積
換句話說, 取任一個數值x>0為周界, 總有圓C' 和任意圖形G,而
C'的面積≥G的面積
不等式的等號成立, 若且唯若x0 = x
從上面(2)的證明可知, 這條件成立, 若且唯若G是圓形
證畢.

呢個係咪你所指ge証明(確認一下)

你條問題同我哥條有異曲同工之妙..
但係無人識= =

相同週長圖形以圓形面積為最大。

1m2嘅正方形，週界長4m，試求相同週長圓形面積，

2丌r=4

r=4/2丌=2/丌

面積=丌r2=丌(2/丌)2=4/丌

所以圓形面積係大過正方形。