✔ 最佳答案
1.
首先,
我所學的MI最多只可用於有理數. 變數的值域是可數的.
我不知MI能否證明你的題目, 但你沒有為變數的值作任何規限.
如果x,y取任何複數, 那麼我就更不知如何用MI了
其次, 仔細看看, 你根本連題目也打錯了.
2.
固定面積平面圖形中以圓的周界為最短.
有一個問題叫做"關於圓的雙重基本問題", 就是論及這點.
圖片參考：
http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00591740/o/701106150096713873459620.jpg
圖片參考：
http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00591740/o/701106150096713873459621.jpg
圖片參考：
http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00591740/o/701106150096713873459632.jpg
至於固定面積平面圖形中以周界最長的圖形
我不知是甚麼形狀的圖形, 但周界可以無限長.
例如, 以長方形為例, 如果面積是A>0, 由於A為實數, 所以一定存在 x>0, y>0 , 使A=xy, 而以x,y,為邊長的長方形, 面積固定為A, 周界=2(x+y)=2(x+ A/x). 當x ---> 0, 周界 --->無限.
3.固定周界的最大面積圖形是圓形.
考慮任意的一個面積為A的圖形G.
必可作出一個圓形C, 其面積也是A.
並且G的周界>= C的周界.
設若
G的周界=x
C的周界=x0 ≤ x
把C放大至 x/x0 倍為圓C', 則C'的周界=x=G的周界
並且可知C'的面積=A(x/x0)^2 ≥ A =G的面積
換句話說, 取任一個數值x>0為周界, 總有圓C' 和任意圖形G,而
C'的面積≥G的面積
不等式的等號成立, 若且唯若x0 = x
從上面(2)的證明可知, 這條件成立, 若且唯若G是圓形
證畢.
固定周界的最小面積圖形.
我不知是甚麼圖形, 但可以知面積--->0
例如長方形的周界為L, 由於L是實數, 所以有x>0, y>0 使L=2(x+y)
而面積=xy=x(L/2-x)
0<x<L/2
x---> L/2 則 面積---->0
2011-06-16 23:55:10 補充：
參考
《世界數學名題選》上海教育出版社
2011-06-16 23:58:37 補充：
關於MI哪題, 如果可以證有理數值域
則可用以下定理以擴之至實數值
"任何實數a, 存在一個有理數數列{a_n}, 其極限為a"
"f(lim ...) = lim f(...), 若f 於...是連續函數"
2011-06-19 17:25:19 補充：
Assume P(a,k) holds
P(a,k+1)
RHS=(a+k+1)(a^2-a(k+1)+(k+1)^2)
=(a+k)(a^2-ak+k^2+2k+1-a)+(a^2-a(k+1)+(k+1)^2)
=(a+k)(a^2-ak+k^2)+(a+k)(2k+1-a)+a^2-ak-a+k^2+2k+1
=(a+k)(a^2-ak+k^2)+2ak+a-a^2+2k^2+k-ak+a^2-ak-a+k^2+2k+1
=(a+k)(a^2-ak+k^2)+3k^2+3k+1
=a^3+k^3+3k^2+3k+1 (By assumption)
=a^3+(k+1)^3
2011-06-19 17:28:38 補充：
It is trivial that P(0,0), the induction base, is true.
From the induction step above, P(0,y) is true for y=0,1,2,... (take a=0)
It is also trivial that P(h,k) is equivalent to P(k,h)
Hence, P(x,0) is also true for x=0,1,2,...
And so, by taking a=x, we have P(x,y) is also true for x,y=0,1,2,...
2011-06-19 17:38:06 補充：
Now, consider x = u/v, y=p/q, where p,q, u,v are positive integers
P(x,y) is equivalent to P(qu,pv), because we can multiply both sides by (vq)^3
then LHS = (qu)^3+(pv)^3
RHS = (qu+pv)((qu)^2+(qu)(pv)+(pv)^2)
As qu, pv are nonnegative integers,
it holds that P(qu,pv), and hence P(x,y)
2011-06-19 17:44:58 補充：
We let Q(h,k): (h^3-k^3)=(h-k)(h^2+hk+k^2)
and prove Q(x,y) holds for all nonnegative rationals similarly.
2011-06-19 17:45:31 補充：
Now P(x,y) is equivalent to Q(x,-y)
When y is negative, then -y is positive, and Q(x,-y) and P(x,y) hold.
