不定積分疑惑

圖片參考：http://i1096.photobucket.com/albums/g340/pingshek/2011-6-15.png


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我一直覺得這種簡單合成函數的積分

並不需要用到代換積分法

只要-------調整係數 即可

被積分函數是(1-2x)^(-3/2)

很自然聯想到它的積分應該很接近(1-2x)^((-3/2)+1)


即(1-2x)^(-1/2)

微分得到(-1/2)*(-2)*(1-2x)^(-3/2)=(1-2x)^(-3/2)

正好是被積分函數

因此, ∫ (1-2x)^(-3/2)dx=(1-2x)^(-1/2)＝ 1/ 根號 (1-2x )


補充:

求 ∫ (5x+3)^8 dx=?

很自然聯想到它的積分應該很接近(1/9)*(5x+3)^9

將(1/9)*(5x+3)^9微分得到 5 *(5x+3)^8

係數多了5,所以只需要將(1/9)*(5x+3)^9乘上1/5 即可

所以 ∫ (5x+3)^8 dx=(1/5)*(1/9)*(5x+3)^9

=(1/45)*(5x+3)^9+c

首先我先說明我接下來要用的符號各代表神麼意思
1. f 代表積分符號
2. ^ 代表次方 ex：x^y代表x的y次方
3. dx 代表對x微分


f 1/(1-2x)^3/2 dx 有兩種算法，分為"速解"跟"正解"

先講"正解"吧
先將他指數化→ f (1-2x)^(-3/2) dx
利用"代換積分法"
令 u=1-2x
則 du=-2*dx → dx=1/-2*du
f (1-2x)^(-3/2) dx → f u^(-3/2) * (1/-2)du 將(1/-2)提出去
→ (1/-2)*f u^(-3/2)du → (1/-2)*(-2)*u^(1/-2)+c
→ (1-2x)^(1/-2)+c → = 1/根號(1-2x) +c


不知道你指數還OK不OK?
x^-1=1/x
x^1/2=根號x
這兩個基本的要記住
在積分這章節這大愾可通了

還有~要記得補"c"
因為c是常數




再來就是"速解"了
不過這只適用於"選擇題"~不然計算題的計算過程會過於簡略= =...
而且似乎有大部份的老師較不認同此類做法

f 1/(1-2x)^3/2 dx 一樣要先指數化
→f (1-2x)^(-3/2) dx
公式是：指數先加一再除
所以-3/2+1=-1/2再除，變成
→(-2)*(1-2x)^(-1/2)+c
但是這個時候這個式子還是不完整的
因為(1-2x)還沒有經過處理
要再另外對(1-2x)一次微分後除上一次微分的東西
所以正確的答案是→(-2)* (1/-2)*(1-2x)^(1/-2)+c
經過整理後答案也是 1/根號(1-2x) +c




就這樣~供你參考嘞XDD
希望有幫到你~