直立橢圓錐體的曲面面積

Let the base be x^2/p^2+y^2/q^2=1 (z=0), vertex be (0,0,h), (p, q)=(a/2, b/2)
so, the surface can be parametrized as
r(u, t)=(x,y, z)=( p u cost, q u sint, -h u), t=0~2π, u=0~1
r_u = ( p cost, q sint, -h)
r_t = (- pu sint, qu cost, 0)
| r_u x r_t |^2= u^2 [ (pq)^2+(qh)^2+ h^2(p^2-q^2)(sint)^2 ]
area A(the base is not included)
=∫[0,2π]∫[0,1] u√[(pq)^2+(qh)^2+ h^2(p^2-q^2)(sint)^2 ] du dt
=∫[0,π]√[(pq)^2+(qh)^2+ h^2(p^2-q^2)(sint)^2 ] dt

it is an elliptic integral.

if p=q, then A=∫[0,π]√[(pq)^2+(qh)^2] dt = πp√(p^2+h^2)

回強烈颱風的風：
整個直立橢圓錐體除了其側面是屬於曲面之外就沒有其他曲面，因此這裡所指的曲面當然是指側面。
直立橢圓錐體的頂點當然是與底部橢圓垂直交叉於橢圓中心，因為直立錐體的定義就是頂點垂直交叉於底部的中心的錐體。

2011-06-21 16:00:10 補充：
回紫雲星夜 這刻暫時消失了：
只要該曲面是存在的，無論是否能被展平都總會有面積。
事實上把橢圓錐和斜圓錐的曲面展開後就會得出類似「扇形」的平面，但這些平面並不是真正屬於扇形，因為其弧邊的形狀不是屬於圓弧，事實上更不是屬於橢圓的一部分，至於真正屬於甚麼形狀，就要慢慢計算才得知。

@強烈颱風的風 ( 研究生 1 級 ):侧面积?
我尘世打滚十年，脑子昏了。椭圆锥表面不能被展开展平。问题换成斜圆锥。斜圆锥展开后原底部椭圆边界线会变成圆弧吗？那不是早几百年就知道了椭圆的周长了吗，那展平又变成什么弧了，总不是正弦线吧。

2011-06-15 22:45:50 補充：
http://zhidao.baidu.com/question/88841422.html

support that?