算幾不等式的問題

(x+1.5y+1.5y)/3≧(x*1.5y*1.5y)的三次根號
→15/3≧((9/4)*xy^2)的三次根號
→5≧((9/4)*xy^2)的三次根號
→125≧(9/4)*xy^2
→500/9≧xy^2

最大值500/9出現在x=1.5y=1.5y時，即x=5 ,y=10/3時

x>0，y>0，且x+3y=15，試求xy^2最大值，及此時x、y的值。
Sol
x+3y=15
x+(3y/2)+(3y/2)=15
5=[x+(3y/2)+(3y/2)]/3>=[x*(3y/2)*(3y/2)]^(1/3)
125>=x*(3y/2)*(3y/2)
500/9>=xy^2
此時
x=3y/2
500/9=(3y/2)y^2
y^3=1000/27
y=10/3，x=5
xy^2最大值=500/9，此時x=5，y=10/3

2011-06-14 08:40:32 補充：
x>0，y>0，且x+3y=15，試求xy^2最大值，及此時x、y的值。
Sol
x+3y=15
3y=15－x
9xy^2
=x(15－x)^2
=x(x^2－30x+225)
=x^3－30x^2+225x
f(x)=x^3－30x^2+225x
f’(x)=3x^2－60x+225
when f’(x)=0
3x^2－60x+225=0
x^2－20x+75=0
(x－15)(x－5)=0
x=15 or x=5
(1) x=15
y=0(不合)
(2) x=5
3y=10
y=10/3
此時 xy^2=5*(10/3)^2=500/9