三角形兩邊和與內切圓半徑的大小關係

(a+b)/r最大下界為 2*φ^(5/2), 其中φ為黃金律=(1+√5)/2

2011-06-17 16:42:35 補充：
預備公式:
(1) 橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1, 焦點F1(c, 0), F2(-c, 0),
P(x,y)=(acost, bsint)在第一象限,則PF1=a - c cost, PF2=a+c cost
(2) 橢圓離心率 e= c/a , 0<1
(3) 內心 OI= (a OA+ b OB + c OC)/(a+b+c)

以三角形最長邊兩端為焦點F1, F2 作橢圓,
另一頂點P(a cost, b sint), t in [0, pi/2],
限制 PF2 < F1F2, 即 a+ c cost < 2c , cost < (2c -a)/c ( e= c/a > 1/2即可)
三角形的內心坐標(公式)
= [2c( a cost, b sint)+ (a+c cost)( c, 0)+ (a- c cost)/(-c, 0)]/ (2c+2a)
= ( ..., bc sin t /(c+a) )
則三角形內接圓半徑 r= bc sint /(c+a) <= bc/(c+a)
(最大時 t=pi/2, 此時為等腰三角形)

(最小兩邊長和)/(內切圓半徑)
> (2a)/[ bc/(c+a) ]
= (2/e)√[(1+e)/(1-e)], for 1/2 < e < 1
e= (-1+√5)/2= 1/φ, 時可得最小值= 2 φ^(5/2)

故(最小兩邊長和)/(內切圓半徑) > 2 φ^(5/2)

註: φ= 1/e = (1+√5)/2

2011-06-17 17:02:20 補充：
(2) 橢圓離心率 e= c/a , 0 < e <1

好問！　　好答！

阿彌陀佛～～善哉！善哉！