高中數學排列組合用的時間點

此題目若要用排列的方法求解

可以將兩個停水日, 插入5個供水日

以避免連續兩天停水, 是用插入法算的

_供 _供 _ 供 _ 供 _ 供 _


所以答案為C(6,2)=(6*5)/2*1)=15


排列組合只要推理正確

計算無誤

很有可能用不同的過程得到

相同的答案

就像平面幾何同一個性質

可能有許多不同的證明方法

這也是數學思考樂趣的所在


補充:分辨P,C,H的用法

1.
先認識階乘

階乘其實是很簡單的數學符號

我們用n!,表示n,n-1,n-2,----,2,1的連乘積,叫做n的階乘

即n!=n*(n-1)*(n-2)*----*2*1

要注意的是,規定 0!=1

排列組合中的公式,常可用階乘表示

P(n,r)=n!/(n-r)!

C(n,r)=n!/[r!*(n-r)!]

2.

P排列

由n個不同的事物中取出r個排成一列,其方法數為

P(n,r)=n!/(n-r)!

排列和組合的差別在於排列是有順序的

組合則是沒有順序的

例如abc,acb,bac在排列算3種

在組合算同一種

例如

abc,acb,cab,cba,bac,bca在排列是6種不同的排法

但在組合視為一種

就是a,b,c這三個一組

例題:

ABCDEF,六字排成一列,AB需相鄰,CD不相鄰

則排列列方法有多少 解答: 3!*2*P(4,2)
=6*2*4*3=144

說明:
AB相鄰先視為一體與E,F做排列有 3!
AB可換位故乘以2
CD不相鄰插空位故再乘以P(4,2)

3.

C組合

由n個不同的事物中,每次不重複地取出r個為一組,其組合數為

C(n,r)=n!/[r!*(n-r)!]



例題:

(1)從6男4女中選出5人組一委員會，恰好選出3男2女的選法有幾種?
(2)承上題，若規定女生最多只能2人的選法有幾種? 解答: (1)3男2女有 C(6,3)*C(4,2)=(6*5*4)/(3*2*1)*(4*3)/(2*1)=20*6=120

(2)
5男0女有 C(6,5)*C(4.0)=6*1=6

4男1女有 C(6,4)*C(4,1)=(6*5)/(2*1)*4=60

3男2女有 C(6,3)*C(4,2)=(6*5*4)/(3*2*1)*(4*3)/(2*1)=20*6=120

女生最多只能2人的選法有 6+60+120=186

4.

H重複組合

由n個不同的事物中,任取出r個為一組,每一類的事物個數均不小於r

其組合數為H(n,r)=C(n+r-1,r)



例題:

10種不同的冰淇淋買4支,有幾種買法?

解答:

或者是,將4個相同的球,任意投入10個不同的箱子

所以是重複組合的題目

H(10,4)=C(10+4-1,4)=C(13,4)

=(13*12*11*10)/(4*3*2*1)=715種


例題有11個選舉人，3個候選人，以無記名方式投票，每人一票，沒有廢票，其結果共有多少種？

解答: 無記名投票

表示每張選票,看起來完全相同

這題目就相當於,將11個相同的球,任意投入3個不同的箱子

所以是重複組合的題目

H(3,11)=C(13,11)=C(13,2)=(13*12)/(2*1)=78 要 "用完的" ,寫在H的右下方的 題目中的選票要投完,球要分完 Blog: http://tw.myblog.yahoo.com/math-life

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其實如果真的有仔細去體會排列跟組合兩種計算的源由，樓主會很清楚問題的癥結點。組合C的前身，是排列P，但就計算而言，其實學到後期，多半都用組合C去做計算，以免混淆或混亂，這是解題的技巧之一。

想必樓主一定很在意「『直線』排列」中的直線兩字，你拘泥在此，之後解題反而會變得綁手綁腳，「直線排列」的計算中，不僅包含了「選取」，還包含了「先後順序」的考慮因素，在解題的過程中，兩個因素同時考慮，反而容易造成不必要的混淆與思考停滯，反倒是「組合」而言，他很單純的只考慮「選取」的因素，使題目變得容易去解析，這也就是為什麼到後期計算的時候，C的使用量遠大於P跟H的出現次數的原因。

在計算排列的時候，後期很多學生會寧願使用nCr之後再乘上需要的r!，雖然結果會跟nPr計算的結果一樣，但是思考的含意卻是大不相同。「nCr*r!」這式子中明確的點出做了「選取」與「順序」的計算，在式子的可閱讀性上比起「nPr」更為容易理解。也不容易發生「我到底要不要考慮順序？」以及「我順序考慮進去了沒？」的這種困惑。

現在回到樓主的疑問：
雖然我了解
一般組合是從X個相異物取Y個,不考慮順序
直線排列是從N個相異物取M個,做直線排列
但常常步了解何時用

這邊可以很肯定的跟樓主說，如果你搞不清楚，那麼就請使用「組合」去計算就好。之後再去考慮「是否需要考慮順序」的問題，這樣題目就會變得容易分析。就拿樓主的題目來說明吧

自來水公司計畫在下週一至日的7天中停水2天,若要求2天停水日不相連
,則自來水公司共有幾種選擇方式?

解題第一步：簡化題目
這題可以看成「袋中有7球，分別標上1～7的號碼，請問一次取兩顆，兩顆不連號的情況有幾種」
解題第二步：分析效率
1.兩顆不連號
2.兩顆連號
明顯兩顆連號比較容易計算，所以就用全部的總數扣掉連號的可能即可
7球取2球，共7C2=21種
兩顆連號的可能有(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)共6種
所以解答即為21-6=15

重點來了
這種題目不就是用直線排列來算嗎
回想一下，直線排列「P」的計算，裡面包含了「選取」與「順序」兩種因素，假若我選擇的是週二跟週四，如果使用「P」來做計算，他將會把「週二跟週四」與「週四跟週二」視為兩種不一樣的選項，但這並不是我們要的結果。做個小整理：
「直線排列」中的『直線』其意涵是「選取後的物件是否要計算『順序』」，而非「物件是否本身有『順序』存在」。
如果樓主會困惑「直線」的意義，以及「順序」的計算，我想上面的粗體字就是樓主的盲點了。

至於要不要用插入法？其實也不是不行，但插入法畢竟還是一種特解，可以解，但在學習排列組合觀念還沒成型前，真的不建議大量使用或者刻意去學，這很容易變成把排列組合體系的題目搞的支離破碎，以後要搞懂反而要費一番功夫去整理。多多利用習題去練習自己的判斷分析與「基礎工具」的使用熟悉度，這樣程度才會『真正』提升。


---------------題外話---------------

這邊就說個小故事吧：

在還未有排列組合符號之前，最原始的排列計算其實是「階乘」，階乘的運算可謂之排列組合的始祖。當3個人由左至右坐成一排的時候，總共有幾種作法？答案顯然是3*2*1，其數學的意義在，第一個位置有3種可能，第二個位置則是2種，第三個位置則剩1種，而n人去坐的時候，則為n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1，也就是n!

然而 「排列P」最原始的計算原理，其實也遞減向下的連乘，但差別在於他並不是全部人都坐下，而是只有部分，例如5P3，原始的計算其實是5*4*3，其意義為第一個位置有5種選擇，第二個位置有4種，第三個位置有3種選擇之意。如果把nPr寫做通式，將會變成：n*(n-1)*(n-2)*.....(n-r+1)共連乘r個。這是「排列P」計算最為直接的解釋方式。

但在「排列P」還未出現之前，「階乘」是如何處理這類問題呢？看法是這樣：5P3這個問題，從「階乘」的眼光來說，等同於「我先將5個人坐成一排的總數算出，之後再把多算的後2個人排列給扣除」，所以計算式子變成了5!/2!，然而寫成通式，即為n!/(n-r)!

一種較為直接的解釋「排列P」另外一種則是由最原始的「階乘」去做說明，導致他們的解釋式不一，但兩個數學式整理後你可以得到他們其實相同的結論。

學習數學一定要去理解公式的來由，而非一直在題目中找關鍵字去套，這樣很容易不知道自己在做什麼？坦白說，如果你把階乘的原理弄得非常熟，你甚至連排列C或組合P怎麼使用都可以無視，但這實在有執行上的難度存在。（總不可能要讓大家都去學只有0101的組合語言吧？）退而求其次，把高一個等級的運算符號「組合C」弄懂，其實就足夠樓主去解所有題目了。

基本上排列是由兩個動作組成
第一個是選擇位子
第二個是把你手中的東西排入你幫他們找好的位子
但是在很多情況之下會無意識忽略掉"選擇"這個動作 但是答案通常算得出來
可是選擇之後忘記排列 卻是常有的事情

就本題來說
需要先幫停水的兩天選個位子
而題目限制他們不能連在一起
所以如果選擇插入的方式一定可以保證他們不相連

但是不相連的兩天該怎麼排定
就是該由你先幫他們選定
(如果你不執行這些動作他們不會自己排!!)

一開始先排定供水的五天
因為供水的五天為相同物
故只有1種排法。
然後在供水的五天當中
由六個空隙選擇兩天來停水
故這裡要先寫上C(6，2)

選好位子之後
再將兩個停水日排入選定的這兩天
不過兩個停水日是相同物
故只有1種排法

所以算式為1 * C(6，2)* 1
................ ↑ ......↑.........↑
.................供.... 選 .......排
.................水.... 定........入
.................五.... 停........停
................ 天.....水........水
..........................日........兩
......................... 期........天

若用單純直線排列也可以
但是要扣掉停水的兩天排在一起
所以把停水的兩天"綁在一起" 視為一個物體
最後算式為7!/(5!*2!)─6!/5!

甚至你也可以想出任何你覺得喜歡的方法。
只要答案對就行

那可不行！
答案對可能只是歪打正著，重點是過程也要對
2*7+1=15這樣行不行？

2011-06-10 02:32:51 補充：
我想版主的意思是這題與"甲乙丙丁戊己庚7人作直線排列，但甲乙不相鄰"的算法
為什麼不一樣？

版主所謂的插入法是把甲乙插入丙丁戊己庚裡面去
為什麼這題不是用插入法？為什麼？