數學知識交流---因數和倍數(3)

(1) 求 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 的 L.C.M。
解：
2 = 2
3 = 3
4 = 2×2
5 = 5
6 = 2×3
7 = 7
8 = 2×2×2
9 = 3×3
10 = 2×5
11 = 11
12 = 2×2×3
13 = 13
14 = 2×7
15 = 3×5
16 = 2×2×2×2
所以[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]
= 2×2×2×2×3×3×5×7×11×13
= 720720

(2) 求439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的 L.C.M 和 H.C.F 。
解：
43987, 425449, 346128的L.C.M.是43987×20421552.
425449, 346128, 439871的H.C.F.是1.
所以439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的 L.C.M.是898282807824.
因為三數的H.C.F. = sqrt (三數積 / 三數的L.C.M.)
所以439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的H.C.F.
= sqrt (1 / 898282807824)
= 1.0550996 × 10^(-6)

(3) 已知 x 為正整數 , 且( x^2 - 9 ) , ( x + 1 ) 的 H.C.F 為 8 , L.C.M 為 40 , 求 x 。
解：因為兩數的乘積 = 兩數的H.C.F.×兩數的L.C.M.
所以(x^2 - 9)(x+1) = 8 × 40
(x+3)(x-3)(x+1) = 320
因為x是正整數，所以試得x = 7.

(4) 求 123 , 234 , 345 , 456 的 H.C.F 。
解：123 = 3 × 41
234 = 3 × 78
345 = 3 × 115
456 = 3 × 152
所以 (123, 234, 345, 456) = 3.

2011-06-08 19:17:03 補充：
(2) 解：
439871, 425449, 346128的L.C.M.是1245714672.
425449, 346128, 439871的H.C.F.是1.
所以439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的 L.C.M.是1245714672.
因為三數的H.C.F. = sqrt (三數積 / 三數的L.C.M.)
所以439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的H.C.F.
= sqrt (1 / 1245714672)
= 2.8332879 × 10^(-5)

2011-06-08 19:25:09 補充：
(2) 解：
439871, 425449, 346128的L.C.M.是1245714672.
425449, 346128, 439871的H.C.F.是7211.
所以439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的 L.C.M.是：
1245714672 / 7211 = 172752.
因為三數的H.C.F. = sqrt (三數積 / 三數的L.C.M.)
所以439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的H.C.F.
= sqrt (1 / 172752)
= 2.4059603 × 10^(-3)

2011-06-08 19:53:39 補充：
重新更正：
解：439871/425449 = 61/59, 425449/346128 = 59/48, 346128/439871 = 48/61.
61, 59, 48的H.C.F.是1，L.C.M.是172752
所以61/59, 59/48, 48/61的L.C.M.是172752。
61/59, 59/48, 48/61的H.C.F.是1/172752。
即439871/425449, 425449/346128, 346128/439871的H.C.F.是1/172752, L.C.M.是172752。

2011-06-08 22:57:30 補充：
若干個分數能被它們的H.C.F.整除；若干個分數的L.C.M.能被它們整除。

(2)完全有問題，因為只有整數才有H.C.F.和L.C.M.的概念。

1)720720
2)不知
3)7
4)3