中五概率六條問題

1.
一個盒子裡有5隻好蛋和3隻壊蛋。從該盒子中先後隨意抽出2隻蛋,而每次都不把抽出的蛋放回。若抽出的蛋中最少有一隻是壊的,求兩隻皆是壊蛋的概率。

P(兩壞蛋)
= 3C2 / 8C2
= (3!/2!1!) / (8!/2!6!)
= 3/28

P(至少一壞蛋)
= P(一好蛋一壞蛋) + P(兩壞蛋)
= (5C1*3C1 / 8C2)+ (3/28)
= 15/28 + 3/28
= 18/28

= P(兩隻壞蛋 | 至少一隻壞蛋)
= (3/28) / (18/28)
= 1/6


= = = = =
2.
事件e和f是獨立事件。已知P(e)=0.6及p(f)=0.9,求p(e或f)。

P(e 或 f)
= P(e) + P(f) - P(e 及 f)
= 0.6 + 0.9 - 0.6*0.9
= 0.96


= = = = =
3.
李先生和李太太希望最少有一個兒子和一個女兒。問李太太最少要生多少個小孩才能使最少擁有一個兒子和一個女兒的概率大於0.9?

假設要生 n 個小孩才能使最少擁有一個兒子和一個女兒的概率大於0.9。

P(至少一個兒子和一個女兒) > 0.9
1 - [P(全部n個兒子) + P(全部n個女兒)] > 0.9
1 - [(1/2)^n +(1/2)^n] > 0.9
1 - 2*(1/2)^n > 0.9
1 - (1/2)^(n-1) > 0.9
(1/2)^(n-1) < 0.1
(n-1)log(1/2) < log(0.1)
n-1 > log(0.1)/log(1/2) ...... 因為 log(1/2) < 0
n-1 > 3.32
n > 4.32

最少的小孩數目 = 5


= = = = =
4.一個袋子裡有10個勻稱的硬幣和6個不勻稱硬幣,這兩種硬幣擲得正面向上的概率分別是0.5和0.4。若從該袋子中隨意抽出一個硬幣並投擲一次,求投擲得向上的概率。

P(正面向上)
＝P(勻稱硬幣 及 正面向上) + P(不勻稱硬幣 及 正面向上)
= (10/16)*0.5 + (6/16)*0.4
= 0.4625


= = = = =
5.
從一副52張撲克牌中先後隨意抽出5張牌,而每次都不把抽出的牌放回。求其中4張是同一花色的概率。

4種花式中，抽中一張特定花式的概率是 1/4，特定花式以外的花式是 3/4。

P(5張中4張同花)
= 4 * [5C4 * (1/4)^4 * (3/4)]
= 4 * 5 * (1/256) * (3/4)
= 15/256


= = = = =
6.
一部機器有5個相似的組件。若最少兩個組件運作正常,機器便能正常運作。假設各組件於任何時候損壞的概率是1/8。求機器能正常運作的概率。
P(正常運作)
= P(至少2個組件正常)
= 1 - [P(0個組件正常) +P(1個組件正常)]
= 1 - [(1/8)^5 + 5C1*(7/8)*(1/8)^4]
= 1 - [(1/32768) + (35/32768)]
= 1 - (36/32768)
= 1 - (9/8192)
= 8183/8192