微分數學 公式

羅必達法則(L'Hopital rule)當 lim(x-->x0) [f(x)/g(x)] 屬於 0/0， 稱為 “不定型”。則 lim(x-->x0) [f(x)/g(x)] = lim(x-->x0) [f'(x)/g'(x)] (分子分母分別對x微分)
例題一：lim(theta-->0)(sin(theta)/theta) 將 theta=0 代入 sin(theta)/theta 得到分母為零 ，分子為零，0/0， 稱為“不定型” ，使用羅必達法則(L'Hopital rule)化簡。所以 lim(theta-->0)(sin(theta)/theta) = lim(theta-->0)(sin'(theta)/theta')=lim(theta-->0)(cos(theta)/1) 將 theta=0 代入得到 1 ，所以 lim(theta-->0)(sin(theta)/theta) = 1
例題二：lim(x-->2) (x^2-4)/(x-2) ，方法一：這題你可以先將分子因式分解 ， x^2-4=(x-2)*(x+2) ，所以原式成為 lim(x-->2) [(x-2)*(x+2)]/(x-2)，分子分母都有(x-2)，約分消去，得到原式成為 lim(x-->2) (x+2)，將x=2直接代入x+2中，得到極限為4。方法二：或是你直接將x=2代入(x^2-4)/(x-2) 中，得到0/0型，接著利用羅必達法則(L'Hopital rule)化簡，得到 lim(x-->2) (x^2-4)/(x-2) = lim(x-->2) (2*x)/1 (分子分母分別對x微分)，將x=2代入，得到極限為4 。

看了一下樓主的圖，似乎問題很大：

疑問一：如果此題分子是sin2θ，分母是「n」，求n趨近無限大，此題答案無庸置疑就是0，連夾擠定理都不需要用。可是樓主用了，所以有了疑問二。

疑問二：樓主的題目可能為「分子是sin2n，分母是n，求n趨近無限大」。如果是這樣，使用夾擠就如同樓主所畫的，答案為0。

疑問三：樓主第二條式子莫名其妙寫了個微分轉cos，在下猜測樓主是想要用「羅必達法則」分子分母同時微分求解，如果被在下說中了，那麼樓主的問題點就出在於「搞不清楚羅必達法則的使用前題」。

如果題目是像樓主所寫的分子是sin2θ，分母是「n」，由於n趨近於無限大時，分母趨近於無限大，但是分子依然還是sin2θ，故並不符合羅必達的使用條件之一「無限大分之無限大」，故不符合使用羅必達法則之前題。

再來，如果題目是疑問二所提的「分子是sin2n，分母是n，求n趨近無限大」，同樣的，雖然分母趨近於無限大，但是分子sin2n卻是在-1～1之間震盪，亦非趨近於無限大，故亦不符合「無限大分之無限大」之條件，也不能使用羅必達法則。

-------------------------我是分隔線-------------------------------
剛剛在看了一次樓主的題目，發現題目還有可能是：
「分子是sin(nθ)，分母是n，求n趨近無限大」但如果是這樣，同樣的，當n趨近於無限大時，雖然分母趨近於無限大，但分子依然是在-1～1之間震盪，所以還是不適用於你的微分方式。


-----------------------懶人包-------------------------
你所使用第二種方式，也就是羅必達法則，此題並不適用。羅必達法則僅適合「分子分母同時趨近於0或者無限大時才可使用」


拜託下次題目表示弄清楚一點......

2011-06-05 23:09:03 補充：
補充一下，就算你是用羅必達真的做下去了，分母變成1，分子變成cos(nθ)，此時當n趨近於無限大的時候，答案將會是「不存在」而非「無限大」。cos跟sin都是在正負1之間的函數。

2011-06-05 23:22:51 補充：
上面補充的部分，分子應該是變成「θcos(nθ)」不過不影響結論。
至於推導的部分，對於有震盪性質的函數，使用夾擠定理是不錯的選擇，對於三角函數求極限的部分，必要的話用級數展開或者利用半角代換法去解有時後也會有不錯的效果。

微分的方式：轉 cos
這是什麼意思?
然後得到答案是無限大,
這又是怎麼來的?
如果你再多思考你的推導過程,也許就能找到錯誤之處.