數學知識交流(29)

1.
(1) (2012 / 12) / 31
解：(2012 / 12) / 31
= 503 / 93
= 5.408602150537634 408602150537634 408602150537634......
所以其循環節為408602150537634.

(2) 654321 / 103
解：654321 / 103
= 6352.6310679611650485436893203883495145 6310679611650485436893203883495145 6310679611650485436893203883495145......
所以其循環節為6310679611650485436893203883495145.

(3) 123456 / 371
解：
= 123456 / 371
= 332.765498652291105121293800539083557951482479784366576819407008086253369272237196 765498652291105121293800539083557951482479784366576819407008086253369272237196 765498652291105121293800539083557951482479784366576819407008086253369272237196......
所以其循環節為765498652291105121293800539083557951482479784366576819407008086253369272237196.

2. 解：
(1) 把1表達為5個單位分數的和：
1 = 1/2 + 1/2
= 1/2 + (1/3 + 1/6)
= 1/2 + 1/3 + (1/7 + 1/42)
= 1/2 + (1/4 + 1/12) + 1/7 + 1/42
= 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/12 + 1/42

(2) 把1表達為6個單位分數的和：
1 = 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/12 + 1/42
= 1/2 + (1/5 + 1/20) + 1/7 + 1/12 + 1/42
= 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/42

(3) 把1表達為7個單位分數的和：
1 = 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/42
= (1/3 + 1/6) + 1/5 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/42
= 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/42

2011-06-04 18:37:12 補充：
第二題的關鍵要訣：
1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]
因為：
1/(n+1) + 1/[n(n+1)]
= n/[n(n+1)] + 1/[n(n+1)]
= (n+1) / [n(n+1)]
= 1 / n
其實做法可以有很多，只要隨便把上一步得來的分數中的任一個分柝都可以。但是：
1. 假如題目規定每個單位分數都要不同，就不是那麼隨意。
2. 假如你想你的答案中的每個分數的分母都儘量拉近，且愈小愈好，那麼最好不好分柝較大分母的單位分數。

2011-06-04 18:38:03 補充：
更正：
上述文字中的"柝"應改為"拆"。