微分公式證明題

設h(x)=f(g(x))

h'(a)

=(x→a)lim [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)

=(x→a)lim { [f(g(x))-f(g(a))]/[g(x)-g(a)] } * {[g(x)-g(a)] / (x-a)}

=(x→a)lim [f(g(x))-f(g(a))]/[g(x)-g(a)] * (x→a)lim [g(x)-g(a)]/(x-a)

=f '(g(a))*g'(a)

所以h'(x)=f '(g(x))*g'(x)

2011-05-26 16:00:52 補充：
Blog: http://tw.myblog.yahoo.com/math-life

g'(x) = 0 而 f'(g(x)) 存在, 所以 (f。g)'(x) = 0 = f'(g(x))g'(x).

不過, 那個證明似乎有點問題...
g(x+h)=g(x) 可能只是針對部分 h 值, 而不是對所有 h 值都有 g(x+h)=g(x).

因此, 連鎖律的標準證明應是定義


f*(y) = (f(y)-f(g(x))/(y-g(x)) if y≠g(x); = f'(g(x)) if y=g(x)
則
(f。g(x+h) - f。g(x))/h = f*(g(x+h))．(g(x+h)-g(x))/h
不論 g(x+h) 等於 g(x) 與否都成立.
然後令 h→0 得極限
lim f*(g(x+h)) = f*(g(x)) = f'(g(x)),
lim (g(x+h)-g(x))/h = g'(x)
故 lim (f。g(x+h) - f。g(x))/h 存在, 且等於 f'(g(x))g'(x).