請問統計大大關於機率的問題及其修正值？

" P hat +/- 1/2n (連續與不連續) 請問此修正值是如何來的？"

如果我沒誤會的話, 你要問的是計算機率時 "±1/(2n)" 怎麼來的.

建議你不要去強記甚麼 ±1/(2n) 之類的東西, 而是從問題本質去解題.

題目是問: P[0.55≦ p^ ≦0.65] = ?

令 X 代表樣本中使用湯淺電池人數. p^ = X/n = X/200, 因此,
P[0.55≦p^≦0.65] = P[200*0.55≦X≦200*0.65] = P[110≦X≦130]

如果直接用二項分布計算, 則不涉及 ±(1/2) 或 ±1/(2n) 的問題.
但因 n=200, p=0.6, 可以用常態分布近似. 而由於常態分布是
連續型分布, 因此先將屬於離散型的二項分布 "連續化", 也就
是 P[X=x] 變成 P[x-1/2≦X≦x+1/2]. 因此,
P[110≦X≦130] = P[110-(1/2)≦X≦130+(1/2)]
用 p^ 表現, 就是 P[0.55-1/(2*200)≦ p^ ≦0.65+1/(2*200)], 這
就是 ±1/(2n) 的由來.

所以, 本題
P[0.55≦p^≦0.65] = P(0.55-0.0025≦p^≦0.65+0.0025]
≒ P[(0.5475-0.6)/√0.0012 ≦ Z ≦ (0.6525-0.6)/√0.0012]
或耆, 由 E[X]=np=120, Var(X)=np(1-p)=48, 得
P[110≦X≦130] ≒ P[(109.5-120)/√48 ≦ Z ≦ (130.5-120)/√48]
結果都是
P[-1.5155≦Z≦1.5155] = 0.9352-0.0648 = 0.8704.


2011-05-24 16:20:57 補充：
"離散型的二項分布 "連續化", 也就是 P[X=x] 變成
P[x-1/2 ≦ X ≦ x+1/2] "

也就是說: 例如 P[X=110] 在用常態近似時, 是以
P[ 109.5 ≦ X ≦ 110.5 ] 來看的. 因為常態分布是連
續型, P[X=110] 在常態分布的機率是 0.

而就 P[110≦X≦130] 而言, 它在二項分布是
P[X=110]+P[X=111]+...+P[X=130]

2011-05-24 16:25:52 補充：
連續化就是
P[109.5≦X≦110.5]+P[110.5≦X≦111.5]+...+P[129.5≦X≦130.5]
= P[109.5≦X≦130.5] = P[110-(1/2)≦X≦130+(1/2)].

而用 p^ 來看, 就是把 P[0.55≦p^≦0.65] 變成
P[109.5/200≦p^≦130.5/200]
= P[0.55-1/(2*200)≦p^≦0.65+1/(2*200)]
也就是下限的 0.55 減去 1/(2n), 上限 0.65 加上 1/(2n).

應該所列出的1/2n可能有誤，基本上從55%及65%機率值反查分配表而得。