由原函數y 創造符合原函數的微分方程式 怎麼做才對呢??

原函數y只有兩個任意常數A、B，所以若要令y成為某方程的通解，對應的方程應該是二階的。換個角度說，y也可以是其他更高階的方程的特解。
一般來說，n階常微分方程的通解應有n個任意常數。

2011-05-23 00:30:55 補充：
若y=Aexp(2x)+Bexp(x)，
8y'''-10*y''+y'+y=27A*exp(2x)，不等於0

2011-05-24 00:59:10 補充：
（既然提問者都這樣說了，那我在這邊回答好了）
原函數y只有兩個任意常數A、B，所以若要令y成為某方程的通解，對應的方程應該是二階的。換個角度說，y也可以是其他更高階的方程的特解。
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微方方程的解可以分為三種：通解、特解及奇異解。
對n階常微分方程而言，有n個任意常數（來自積分常數）的解就是通解；通解之中的某些或全部任意常數取特定數值就是特解。而奇異解就是無法從通解得出，但又能滿足原方程的函數。

例如 8y-10y'+y''+y'''=0，
通解是y=c1*exp(-4*x)+c2*exp(x)+c3*exp(2*x)，
其中一個特解是y=c2*exp(x)+c3*exp(2*x)〔取c1=0〕，
【其他特解可以是y=3*exp(x)，y=-9*exp(-4*x)+100*exp(x)+7*exp(2*x)等等】，
沒有奇異解。

另舉一例：(y ')^2+1 = (a/y)^2，
通解是 y = C ± √(a^2-y^2)，
（其中一個）特解是y = 3 + √(a^2-y^2)，
奇異解是y = ±a

2011-05-26 13:13:01 補充：
找奇異解的方法：請參考
http://www.math24.net/singular-solutions-of-differential-equations.html
網頁最下面有例子解釋

你在做方程式時，產生增根。
就像你想造一個代數方程式，以1和2為根，如果
用二次方程式f(x)=k(x-1)(x-2)=0就剛好，
但用三次方程式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0則一定會產
生增根。
所以你只要看你的方程式8*y-10*y'+y''+y'''=0
的特徵方程式 t^3+t^2-10t+8=(t-1)(t-2)(t+4)=0
便知道多了一個(t+4)之項。

2011-05-24 23:37:37 補充：
大大 請問 特徵方程 正常的過程 是怎麼獲得的呢?
[[Answer]]
ODE 常係數微分方程式的書一定都有，請務必自己查書，看較完整枝資料，因為我只能簡略的說明。
以4階常係數微分方程式為例說明:
y’’’’+a(3)y’’’+a(2)y’’+a(1)y’+a(0)y=0.
我們知道其解之形式為指數函數e^(tx).
因為 [e^(tx)]’=t e^(tx),
[e^(tx)]’’=t^2 e^(tx),
[e^(tx)]’’’=t^3 e^(tx),
[e^(tx)]’’’’=t^4 e^(tx),

2011-05-24 23:38:35 補充：
代入原式，得
t^4 e^(tx)+a(3) t^3 e^(tx)+a(2) t^2 e^(tx)+a(1) t e^(tx)+a(0) e^(tx)
=[ t^4+ a(3) t^3+ a(2) t^2+ a(1) t+ a(0)] e^(tx)
=0
因為e^(tx) 不等於零，
= > t^4+ a(3) t^3+ a(2) t^2+ a(1) t+ a(0)=0
上式就是原方程式之特徵方程式。

2011-05-24 23:38:56 補充：
當然不必每次都這樣做，只要
( -> 表示用…取代)
y’’’’ -> t^4
y’’’ -> t^3
y’’ -> t^2
y’ -> t
y -> 1(=t^0)
就可以了。
[[完成]]

☆→【生死平衡】←★ ( 專家 5 級 ) 大大
謝謝您
看完您的解說
我有比較懂了
就是
創造符合原函數的 線性微分方程時
所創造的 線性微分方程的階數 只要與原函數的任意常數數目相同
這樣就不會出錯了

另外
我哪個方程式我寫錯了
正確應該是
8*y-10*y'+y''+y'''=0
其解是y=c1*exp(-4*x)+c2*exp(x)+c3*exp(2*x)

2011-05-23 08:28:25 補充：
請問大大您所提到的[ y也可以是其他更高階的方程的 "特解" ]
這個 "特解"指的就是 這裡的c2*exp(x)+c3*exp(2*x)嗎??

(大大我覺得您答的很好 應該回答在 回答欄才對!!!!!!)

2011-05-24 22:53:23 補充：
Sam ( 初學者 1 級 ) 大大
謝謝您

原來還有用特徵方程來判斷的方法

大大 請問 特徵方程 正常的過程 是怎麼獲得的呢??

2011-05-24 23:46:31 補充：
Sam ( 初學者 1 級 ) 大大

時常看到您在意見欄 幫助人

覺得您太偉大了

給您一個 +讚^^b
大大看完您的解說
我就知道有來龍去脈了 剩下的我在查書看看 !!!
希望未來能夠更了解這個方法 感恩~~

2011-05-26 12:28:21 補充：
☆→【生死平衡】←★ ( 專家 5 級 )大大
謝謝您

請問 奇異解 通常是怎麼得到的呢???
是不是 只能靠觀察的呢??? 有其他得到的方法嗎???

2011-05-26 17:49:39 補充：
☆→【生死平衡】←★ ( 專家 5 級 ) 大大
謝謝您

馬上選您為最佳解答

另外 我有發問兩個問題 都沒有人回應
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1511052600019
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1011052604401
如果您也有興趣 也可以一起討論唷!! 謝謝您~