積分變數變換 (圓的參數座標)

(x+1)^2+y^2 <=1, x^2+y^2+2x <=0, (x, y)=(r cosθ, r sinθ)
r^2+2rcosθ<=0, 0 <= r <= -2cosθ, θ=π~2π
x^2+y^2+z^2 <= 4, z^2 <= 4 -(x^2+y^2)= 4- r^2
體積= ∫[π~2π]∫[0~-2cosθ] 2√(4-r^2)* r dr dθ
= (16/3) ∫[π~2π] [1+(sinθ)^3] dθ
= (16/9)(3π - 4)

註: 計算中[(sinθ)^2]^(3/2) = - (sinθ)^3, 因角度範圍在3,4象限

2011-05-28 09:52:11 補充：
r^2+2rcosθ < = 0邊界為r=-2cosθ
圓內部, 故0 < = r < = -2cosθ, θ=π~2π
(習慣上 r 取正值, 故取θ=π~2π)

x 還是假設成 r cosθ
但是積分範圍 r 跟 θ
要注意一下

應該這樣就OK了


這題好眼熟好像在某張考卷看過