Verify that X/(X^2+1)^2 is decreasing for x>=3^(-1/2),
and thence show that
0.38<∑(n=1~∞) n/(n^2+1)^2 <0.41
請問可以用
∫(x=1~∞) f(x)dx<= ∑(n=1~∞) f(n) <= ∫(x=1~∞) f(x)dx+ f(1) 嗎?
但做出來會變成
∫(x=1~∞) f(x)dx = -1/2(X^2+1)+C = 1/4
f(1)= 1/4
1/4 <= ∑(n=1~∞) f(n) <= 1/2
為什麼不會是0.38和0.41
而是0.25和0.5
哪一個步驟做錯了嗎??
高等微積分
2011-05-19 8:34 am
回答 (1)
2011-05-19 9:00 am
✔ 最佳答案
你估計的很好!但題目從n=3~才開始作積分估計,如下:
∑(n=1~∞) n/(n^2+1)^2= 1/4+ 2/25+∑(n=3~∞) n/(n^2+1)^2
∫[3~∞] x/(x^2+1)^2 dx < ∑(n=3~∞) n/(n^2+1)^2 < ∫[3~∞] x/(x^2+1)^2 dx +f(3)
故 1/20 < ∑(n=3~∞) n/(n^2+1)^2 < 1/20+ 3/100
則 1/4+ 2/25+1/20 < ∑(n=1~∞) n/(n^2+1)^2 < 1/4+2/25+1/20+3/100
即 0.38 < ∑(n=1~∞) n/(n^2+1)^2 < 0.41
(註:想法 0.41-0.38= 0.03 = f(3) )
收錄日期: 2021-05-04 00:58:56
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https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110519000015KK00328