高等微積分要證黎曼可積

令u=x-y, v=x, Jacobian=1
∫∫_D sin(1/|x-y|^2) dxdy
=∫[0~1]∫[u~1] sin(1/u^2) dv du + ∫[-1~0]∫[0~1+u] sin(1/u^2) dv du
(註:第1項積分下半三角形,第2項積分上半三角形, 上下三角形以x-y=0分界)
=∫[0~1] (1-u)sin(1/u^2) du +∫[-1~0] (1+u)sin(1/u^2) du
=∫[0~1] (1-u)sin(1/u^2) du + ∫[1~0] (1-y)sin(1/y^2) (-dy)
= 2*∫[0~1] (1-u)sin(1/u^2) du (變數代換 u^2= 1/x)
= ∫[1~∞] [(√x -1)sinx] /x^2 dx

而∫[1~∞] (√x -1)/x^2 dx conv.
故原積分=∫[1~∞] [(√x -1)sinx]/x^2 dx conv. (存在,可積分)