高微題目急急急 20點

[匿名]

2011-05-18 5:01 am

1. Tell wherther each of the following series converges; if it does ,find its sum.

(√2-√1)+ (√3-√2)+ (√4-√3)+………
2. Suppose An > (-1) for all n . By suitable applications of Taylor's theorem to the functions log(1+x) or e^x,show the following:

Let An=[(-1)^(n+1)] /√n . Then Σ(n=1→∞) An is conditionally convergent ,but Σ(n=1→∞) log(1+An) diverges.

謝謝~~詳細一點

回答 (1)

mathmanliu

2011-05-18 7:26 am

✔ 最佳答案

1. 原式=∑(n=1~∞) a(n)=∑(n=1~∞) [√(n+1)-√n)]
n terms parital sum S(n)=[√2-√1]+[√3-√2]+...+[√(n+1)-√n]=√(n+1)-1
lim(n->∞) S(n)=∞
故原級數 div.

2.
(1)∑(n=1~∞] |An| =∑(n=1~∞) 1/√n為 p-series p=1/2 <1, 故∑(n=1~∞)|An| div.
By alternating series test, ∑(n=1~∞) An=1/√1 - 1/√2+ 1/√3- 1/√4+.. conv.
故級數 ∑(n=1~∞) An conditionally conv.
(2)∑(n=1~∞) ln(1+An)=∑(n=1~∞) {ln[1+1/√(2n-1)] + ln[1-1/√(2n)] }
=∑(n=1~∞) ln[ 1- a(n) ],
其中 a(n)=1/√[2n(2n-1)]-[1/√(2n-1)-1/√(2n)]
= 1/√[2n(2n-1)]*{ 1- 1/[√(2n)+√(2n-1)] }
顯然n夠大時 a(n) 遞減至0
又 lim(x->0) ln(1-x)/x = -1
由limit comparison test
∑(n=1~∞) ln[1- a(n)] 與 ∑(n=1~∞) a(n)同時conv. or div.
而 a(n) > 1/√[2n(2n-1)] * (1/2) > 1/(4n), 且∑(n=1~∞) 1/(4n) div.
故原級數 div.

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