有些 非線性ODE 先化為 線性ODE來解 可行嗎??

其實 非線性ODE 很難化成 線性ODE 來加以求解 , 除非對它進行 線性化 ,
這種線性化的解僅在局部成立 , 通常整體是不成立的 !

你的問題僅是個幸運的特例 , 解法有二種:
1.
dx/dt = x*(1+x) => dt = [1/x - 1/(1+x)]*dx => t = ln(x) - ln(1+x) + c1
=> t = ln[x/(1+x)] + c1 => exp(t) = c*x/(1+x) => c*x = exp(t) + x*exp(t)
=> x = exp(t)/[c - exp(t)] or 1/x = c*exp(-t) - 1

2.
d(1/x)/dt = -(1/x^2)*dx/dt => dx/dt = -x^2*d(1/x)/dt
dx/dt = x*(1+x) => -x^2*d(1/x)/dt = x + x^2 => d(1/x)/dt = -(1/x) - 1 =>
d(1/x)/dt + (1/x) = -1 => d[exp(t)/x]/dt = - exp(t) => exp(t)/x = c - exp(t)
=> x = exp(t)/[c - exp(t)]


2011-05-18 21:48:34 補充：
舉常見的單擺問題: d^x/dt^2 + (g/L)*sin(x) = 0 , 其中 x 為擺角, g 為重力加速度, L 為擺長.
這是非線性ODE, 不能化成線性ODE來解. 但若假設微小擺角來加以線性化 , 即 sin(x) ≒ x ,
則原來非線性ODE會線性化成 d^x/dt^2 + (g/L)*x = 0 , 可加以求解了 !

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

那麼這些例子算不算是也是屬於「線性化」？
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0104.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0142.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0133.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0123.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0318.pdf

2011-05-20 10:11:52 補充：
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0319.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0324.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0334.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0335.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0337.pdf

2011-05-20 10:12:18 補充：
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0338.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0339.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0340.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0342.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0344.pdf

2011-05-20 10:13:46 補充：
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0345.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0346.pdf

恩 這個網站很好唷!!
那個是 數值分析軟體
它會進行符號運算 而得到 解析解

但是 不像人腦 它也要資料庫裡面有記載的題目種類 才會解
如果沒有記載此類 它無法像人腦 自行發現 解析解方法

2011-05-18 21:10:18 補充：
.















小魚 ( 專家 3 級 ) 大大

您說
" 其實大部份 非線性ODE 很難化成 線性ODE 來加以求解 , 除非對它進行 線性化 ,
這種線性化的解僅在局部成立 , 通常整體是不成立的 ! "

拜託
可不可以 舉個 非線性ODE 的例子 來說明 "線性化" 以及 "解僅在局部成立的含意" 呢??
因為 我很想學!! 小魚大大拜託您~

2011-05-19 20:46:21 補充：
小魚 ( 專家 3 級 ) 大大

這樣我知道 線性化的含意了

大大謝謝您

2011-05-20 15:39:44 補充：
小魚 ( 專家 3 級 ) 大大
我不懂了

請問 以上的大大所提供的那些
是否屬於線性化呢???

我只是想測測看這網站的性能...
沒想到打進去還真的解的出來...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+dx%2Fdt+%3D+x*x+%2B+x