遞迴數列問題 如何化簡成一般項?

(n^2-1)/n=(n-1)(n+1)/n^2分子=(1*3)(2*4)(3*5)(4*6)…[(n-2)*n][(n-1)*(n+1)=1*2*3^2*4^2*5^2*…*(n-2)^2*(n-1)^2*n*(n+1)分母=2^2*3&2*4^2*…*n^2分子分母消去: 3^2*4^2*…*(n-1)^2原式=1*2*n(n+1)/[2^2*n^2]=(n+1)/2n[[Done]]用歸納法也很容易正得此結果。

2011-05-17 21:02:46 補充：
To ：Sam ( 實習生 3 級 )
太好玩了!真是有緣，空中乾一杯。

"月下"的回答簡捷!

(3/4)*(8/9)*(15/16)*….*[(n^2－1)/n^2]=??
請詳解過程
Sol
(3/4)*(8/9)*(15/16)*….*[(n^2－1)/n^2]
=(1*3/4)*(2*4/9)*(3*5/16)*….*[(n－1)(n+1)/n^2]
=(1*3/4)*(2*4/9)*(3*5/16)*(4*6/25)*(5*7/36)*….*[(n－5)*(n－3)/(n－4)^2]
*[(n－4)*(n－2)/(n－3)^2]*[(n－3)*(n－1)/(n－2)^2]*[(n－2)*n/(n－1)^2]
*[(n－1)(n+1)/n^2]
=(1/4)*(2/3)*(3/4)*(4/5)*(5/6)*….*[(n－5)/(n－4)]*[(n－4)/(n－3)]
*[(n－3)/(n－2)]*[(n－2)/(n－1)]*[(n－1)(n+1)/n]
=(1/4)*(2/1)*(1/1)*(1/1)*(1/1)*….*(1/1)*(1/1)*(1/1)*(1/1)*[1*(n+1)/n]
=(n+1)/(2n)

(n^2 -1)/ n^2=[(n -1)/ n][(n+1)/n]
n=2~n
(1/2) {(3/2)(2/3) (4/3)(3/4) (5/4)(4/5) (6/5)…. [(n -1)/ n] } [(n+1)/n]
=(1/2)( n+1)/n=(n+1)/(2n)

中間都會消掉，最後剩下頭尾兩項。

2011-05-17 14:21:45 補充：
我也奇怪，怎麼能回答兩次？

您好
先從最後項著手，項數之間的關係為連乘，n從2開始把（n^2－1）／（n^2）化簡為1－（1／n）^2＝［1＋（1／n）］［1－（1／n）］先看［1＋（1／n）］的規律（3／2）＊（4／3）＊．．．＊［n／（n－1）］＊［（n＋1）／n）］＝（n＋1）／2．．．（一）再看［1－（1／n）］的規律（1／2）＊（2／3）＊．．．＊［（n－2）／（n－1）］＊［（n－1）／n）］＝1／n．．．（二）最後把（一）（二）相乘即可得證（n＋1）／（2n）

2011-05-17 14:13:31 補充：
我看到其他發問者嚇到了，我想我怎會回答兩次XD
(另外一個Sam大大，安安)

2011-05-18 09:34:50 補充：
TO：Sam ( 初學者 1 級 ) CHEERS！