無窮級數正確值的計算
回答 (14)
2011-05-18 3:49 am
✔ 最佳答案
設f(x)=∑(n=1~∞) x^(3n-1)/(3n-1), -1 <= x < 1f (0)=0
f'(x)=∑(n=1~∞) x^(3n-2), 為等比級數, r=x^3, 首項x
f'(x)=x/(1-x^3)
積分得f(x)=∫[0~x] t/(1-t^3) dt
=(1/3)∫[0~x] [ 1/(1-t) + (t-1)/(t^2+t+1)] dt
=(1/3)∫[0~x]{1/(1-t)+(1/2) (2t+1)/(t^2+t+1)-1.5/[(t+ 1/2)^2+ 3/4]}dt
=(1/3){-ln|1-x|+(1/2)ln(x^2+x+1)-√3 arctan[(2x+1)/√3] +π/(2√3)}
所求級數=f(-1)=-(1/3)ln2 +π/(3√3)
2015-01-21 3:13 pm
九州-休閒特區
http://ts777.cc
http://ts777.cc
2014-12-02 10:50 am
試試看他的方法
http://ts777.cc
http://ts777.cc
2014-11-25 8:46 am
36588系統現金網●誠徵經銷商、會員●
請洽客服 官網 : A36588.NET
請洽客服 官網 : A36588.NET
2014-11-23 11:10 pm
這裡有 詳盡說明
http://ts777.cc
http://ts777.cc
2014-06-05 1:52 pm
2014-05-29 3:31 pm
2014-05-28 3:51 pm
2014-05-27 12:26 pm
2014-05-22 11:52 pm
2011-05-18 2:29 am
令f(x)=∑-(-1)^n * {x^(3n-1)}/(3n-1)
f'(x)=∑-(-1)^n * x^(3n-2)
f'(x)/x = ∑ (-1)^{n-1) * x^(3n-3) = 1/(1+x^3)
積分(手算也可，懶得打了)：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%2F%281%2Bx^3%29
因f(0)=0故可決定待定常數，再算f(1)即可得出所要結果。
驗證：
上面網站中指令欄輸入：sigma (-1)^(k+1)/(3k-1) (k from 1 to infinite)
f'(x)=∑-(-1)^n * x^(3n-2)
f'(x)/x = ∑ (-1)^{n-1) * x^(3n-3) = 1/(1+x^3)
積分(手算也可，懶得打了)：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%2F%281%2Bx^3%29
因f(0)=0故可決定待定常數，再算f(1)即可得出所要結果。
驗證：
上面網站中指令欄輸入：sigma (-1)^(k+1)/(3k-1) (k from 1 to infinite)
收錄日期: 2021-04-13 17:59:19
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110517000015KK02041